Vectores Operaciones Básicas

Vectores: Operaciones Básicas

Un vector es una cantidad que tiene magnitud (tamaño) y dirección. Se representa como una flecha o como un par (o terna) de números llamados componentes. Por ejemplo, \(\vec{v} = (3, 4)\) es un vector en 2D con componente \(x = 3\) y componente \(y = 4\).

Notación y componentes

Un vector en el plano se escribe como \(\vec{v} = (v_x, v_y)\). El vector que va del punto \(A(x_1, y_1)\) al punto \(B(x_2, y_2)\) se obtiene restando coordenadas:
\[\vec{AB} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1)\]

Magnitud de un vector

La magnitud (o módulo) de un vector se calcula usando el teorema de Pitágoras:
\[|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\] Ejemplo: Si \(\vec{v} = (3, 4)\), entonces \(|\vec{v}| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).

En 3D: \(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\).

Vector unitario

El vector unitario en la dirección de \(\vec{v}\) tiene magnitud 1 y se obtiene dividiendo por la magnitud:
\[\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\] Ejemplo: Para \(\vec{v} = (3, 4)\): \(\hat{v} = \frac{1}{5}(3, 4) = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)\).

Suma y resta de vectores

La suma y resta se realizan componente a componente:
\[\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x,\; u_y + v_y)\] \[\vec{u} - \vec{v} = (u_x - v_x,\; u_y - v_y)\]

Multiplicación por un escalar

Multiplicar un vector por un número (escalar) multiplica cada componente:
\[k\vec{v} = (kv_x,\; kv_y)\]

• Si \(k > 0\): el vector mantiene su dirección pero cambia su magnitud.
• Si \(k < 0\): el vector invierte su dirección.
• Si \(k = 0\): se obtiene el vector nulo \(\vec{0}\).

Producto punto (producto escalar)

El producto punto de dos vectores produce un número (escalar):
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y\] Forma geométrica:
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\] Propiedades clave:

• Si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), los vectores son perpendiculares (ortogonales).
• Si \(\vec{u} \cdot \vec{v} > 0\), el ángulo entre ellos es agudo (\(< 90°\)).
• Si \(\vec{u} \cdot \vec{v} < 0\), el ángulo es obtuso (\(> 90°\)).
• \(\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2\)

Ángulo entre dos vectores

El ángulo \(\theta\) entre dos vectores se calcula despejando de la fórmula del producto punto:
\[\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\] Ejemplo: \(\vec{u} = (1, \sqrt{3})\), \(\vec{v} = (1, 0)\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1\), \(|\vec{u}| = 2\), \(|\vec{v}| = 1\).
\(\cos\theta = \frac{1}{2}\), entonces \(\theta = 60°\).

Producto cruz (solo en 3D)

El producto cruz de dos vectores 3D produce un vector perpendicular a ambos:
\[\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}\] \[= (u_y v_z - u_z v_y,\; u_z v_x - u_x v_z,\; u_x v_y - u_y v_x)\] Aplicación importante: El área del paralelogramo formado por \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) es \(|\vec{u} \times \vec{v}|\), y el área del triángulo es \(\frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}|\).

Resumen de fórmulas clave

Concepto	Fórmula
Magnitud	\(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)
Vector unitario	\(\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\)
Producto punto	\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y\)
Ángulo entre vectores	\(\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\)
Ortogonalidad	\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
Producto cruz (3D)	\(\vec{u} \times \vec{v} = (u_y v_z - u_z v_y,\; u_z v_x - u_x v_z,\; u_x v_y - u_y v_x)\)
Área paralelogramo	\(|\vec{u} \times \vec{v}|\)

Consejos para el examen

• Magnitud: Memoriza las ternas pitagóricas comunes (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) para calcular magnitudes rápidamente.
• Producto punto = 0: Es la forma más rápida de verificar perpendicularidad.
• Producto punto vs producto cruz: El punto da un escalar, el cruz da un vector. No los confundas.
• Vectores paralelos: Verifica si uno es múltiplo escalar del otro: \(\vec{v} = k\vec{u}\).
• Ángulos comunes: Memoriza \(\cos 0° = 1\), \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 60° = \frac{1}{2}\), \(\cos 90° = 0\).
• Producto cruz y área: Si piden el área de un triángulo con vértices, usa \(\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|\).