Conteos simples
Selecciona un nivel de dificultad para comenzar a practicar. Los exámenes fáciles son gratuitos. Los intermedios y difíciles requieren una suscripción premium.
Los problemas de conteo buscan responder una pregunta central: ¿de cuántas formas puede ocurrir algo?
Estos contenidos resultan indispensables para resolver ejercicios de razonamiento cuantitativo en las Pruebas Nacionales del MINERD.
A continuación se presentan los principios y técnicas fundamentales que necesitas dominar.
Si la acción A puede ocurrir de m formas y la acción B de n formas (y ambas se excluyen), el total es m + n.
Ejemplo: Un restaurante ofrece 4 platos de carne y 3 platos vegetarianos. Si eliges exactamente uno, tienes 4 + 3 = 7 opciones.
Si la primera etapa tiene m opciones y la segunda tiene n opciones, el total de resultados es m × n.
Ejemplo: Hay 4 rutas para ir a un destino y 3 rutas para volver. El total de recorridos de ida y vuelta es 4 × 3 = 12.
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por convención, 0! = 1.
¿Para qué sirve? El factorial cuenta el número total de formas de ordenar n objetos distintos en fila.
Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra SOL? Son 3 letras distintas, así que hay 3! = 6 formas: SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO.
Cuando solo se eligen k posiciones de n objetos, se usa la fórmula n!/(n−k)!
Ejemplo: Formar números de 4 dígitos con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 sin repetir. Se eligen 4 de 5: 5!/(5−4)! = 5 × 4 × 3 × 2 = 120 números posibles.
Para n objetos en círculo, el total de disposiciones distintas es (n−1)!
Ejemplo: Sentar 6 personas alrededor de una mesa redonda: (6−1)! = 5! = 120 formas.
La razón es que fijamos a una persona como referencia y permutamos las 5 restantes.
Fórmula: n! / (n₁! × n₂! × ... × nₖ!) donde n₁, n₂, etc. son las cantidades de cada elemento repetido.
Ejemplo: ¿Cuántos arreglos distintos tiene la palabra BANANA? Tiene 6 letras: B aparece 1 vez, A aparece 3 veces, N aparece 2 veces. Total: 6!/(3! × 2!) = 720/12 = 60 arreglos.
La fórmula es C(n,k) = n! / [k!(n−k)!]
Ejemplo: Formar parejas de baile de 2 personas de un grupo de 5: C(5,2) = 5!/(2! × 3!) = 10 parejas.
¿Cuándo usar combinaciones? Cuando las palabras clave son "grupo", "comité", "equipo" o "seleccionar" sin asignación de roles.
Conteo directo por casos: descomponer la situación en subcasos que no se solapen y sumar.
Ejemplo: De 8 mujeres y 5 hombres, formar un comité de 5 con al menos 3 mujeres. Se calcula: C(8,3)×C(5,2) + C(8,4)×C(5,1) + C(8,5)×C(5,0) = 560 + 350 + 56 = 966 formas.
Conteo complementario: calcular el total sin restricción y restar los casos prohibidos.
Ejemplo: Sentar 7 personas en círculo donde Ana y Luis no quedan juntos. Total circular: (7−1)! = 720. Casos donde sí están juntos: tratarlos como bloque → (6−1)! × 2! = 240. Resultado: 720 − 240 = 480 formas.
Ejemplo: Números de 4 dígitos con las cifras 0, 1, 3, 5, 7, 9 sin repetición. El primer dígito tiene 5 opciones (cualquiera excepto 0), el segundo tiene 5 (las restantes incluyendo 0), el tercero 4 y el cuarto 3. Total: 5 × 5 × 4 × 3 = 300.
Respondiendo estas preguntas paso a paso, podrás elegir la técnica adecuada y llegar a la respuesta correcta. Te deseamos mucho éxito en tu preparación para las Pruebas Nacionales.
Estos contenidos resultan indispensables para resolver ejercicios de razonamiento cuantitativo en las Pruebas Nacionales del MINERD.
A continuación se presentan los principios y técnicas fundamentales que necesitas dominar.
Principio de adición
Cuando dos acciones no pueden ocurrir simultáneamente, el total de opciones se obtiene sumando.Si la acción A puede ocurrir de m formas y la acción B de n formas (y ambas se excluyen), el total es m + n.
Ejemplo: Un restaurante ofrece 4 platos de carne y 3 platos vegetarianos. Si eliges exactamente uno, tienes 4 + 3 = 7 opciones.
Principio de multiplicación
Cuando un proceso se realiza en etapas consecutivas, las posibilidades se multiplican.Si la primera etapa tiene m opciones y la segunda tiene n opciones, el total de resultados es m × n.
Ejemplo: Hay 4 rutas para ir a un destino y 3 rutas para volver. El total de recorridos de ida y vuelta es 4 × 3 = 12.
Diagrama de árbol: visualizando el principio de multiplicación
Cada rama del árbol representa una combinación posible. El total de hojas finales coincide con el producto de las opciones de cada etapa.Factorial y arreglos ordenados
El factorial de un número n, escrito n!, es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n.5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por convención, 0! = 1.
¿Para qué sirve? El factorial cuenta el número total de formas de ordenar n objetos distintos en fila.
Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra SOL? Son 3 letras distintas, así que hay 3! = 6 formas: SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO.
Cuando solo se eligen k posiciones de n objetos, se usa la fórmula n!/(n−k)!
Ejemplo: Formar números de 4 dígitos con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 sin repetir. Se eligen 4 de 5: 5!/(5−4)! = 5 × 4 × 3 × 2 = 120 números posibles.
Arreglos circulares
Cuando los elementos se disponen en círculo, las rotaciones producen el mismo arreglo.Para n objetos en círculo, el total de disposiciones distintas es (n−1)!
Ejemplo: Sentar 6 personas alrededor de una mesa redonda: (6−1)! = 5! = 120 formas.
La razón es que fijamos a una persona como referencia y permutamos las 5 restantes.
Conteo con elementos repetidos
Si entre n objetos hay grupos de elementos iguales, el total de arreglos distintos se ajusta dividiendo por los factoriales de cada grupo repetido.Fórmula: n! / (n₁! × n₂! × ... × nₖ!) donde n₁, n₂, etc. son las cantidades de cada elemento repetido.
Ejemplo: ¿Cuántos arreglos distintos tiene la palabra BANANA? Tiene 6 letras: B aparece 1 vez, A aparece 3 veces, N aparece 2 veces. Total: 6!/(3! × 2!) = 720/12 = 60 arreglos.
Selección sin importar el orden
Cuando solo interesa qué elementos se eligen (no su posición), se usan combinaciones.La fórmula es C(n,k) = n! / [k!(n−k)!]
Ejemplo: Formar parejas de baile de 2 personas de un grupo de 5: C(5,2) = 5!/(2! × 3!) = 10 parejas.
¿Cuándo usar combinaciones? Cuando las palabras clave son "grupo", "comité", "equipo" o "seleccionar" sin asignación de roles.
Problemas con restricciones
Muchos ejercicios imponen condiciones que limitan las opciones. Dos estrategias comunes:Conteo directo por casos: descomponer la situación en subcasos que no se solapen y sumar.
Ejemplo: De 8 mujeres y 5 hombres, formar un comité de 5 con al menos 3 mujeres. Se calcula: C(8,3)×C(5,2) + C(8,4)×C(5,1) + C(8,5)×C(5,0) = 560 + 350 + 56 = 966 formas.
Conteo complementario: calcular el total sin restricción y restar los casos prohibidos.
Ejemplo: Sentar 7 personas en círculo donde Ana y Luis no quedan juntos. Total circular: (7−1)! = 720. Casos donde sí están juntos: tratarlos como bloque → (6−1)! × 2! = 240. Resultado: 720 − 240 = 480 formas.
Restricciones de posición
Cuando una posición tiene restricción (por ejemplo, el primer dígito de un número no puede ser 0), se resuelve esa posición primero.Ejemplo: Números de 4 dígitos con las cifras 0, 1, 3, 5, 7, 9 sin repetición. El primer dígito tiene 5 opciones (cualquiera excepto 0), el segundo tiene 5 (las restantes incluyendo 0), el tercero 4 y el cuarto 3. Total: 5 × 5 × 4 × 3 = 300.
Cierre
La clave del conteo es identificar correctamente la estructura del problema: ¿hay etapas consecutivas? ¿Importa el orden? ¿Hay elementos repetidos? ¿Existen restricciones?Respondiendo estas preguntas paso a paso, podrás elegir la técnica adecuada y llegar a la respuesta correcta. Te deseamos mucho éxito en tu preparación para las Pruebas Nacionales.