Desigualdades y Dominios Cuadráticos

Desigualdades y Dominios Cuadráticos: El Método del Eje/Sector

En muchos problemas de matemáticas necesitas determinar en qué intervalos una expresión es positiva, negativa o cero. El Método del Eje (o Método de Sectores) es una técnica rápida y visual que te permite resolver desigualdades cuadráticas, racionales y problemas de dominio sin necesidad de resolver ecuaciones complicadas.

La idea fundamental: Los 4 sectores clave

La recta numérica se puede dividir en sectores usando los puntos críticos (donde cada factor se anula). Los puntos más importantes para comparar potencias son -1, 0 y 1, que crean 4 sectores:

Comportamiento de las potencias en cada sector

La clave del método es saber cómo se comportan \(x\), \(x^2\), \(x^3\) y \(\sqrt{x}\) en cada sector:

Sector	Ejemplo	x vs x²	x vs x³	x vs √x
x < -1	x = -2	x² > |x|	x³ < x	No existe
-1 < x < 0	x = -0.5	x² < |x|	x³ > x	No existe
0 < x < 1	x = 0.5	x² < x	x³ < x	√x > x
x > 1	x = 2	x² > x	x³ > x	√x < x

Regla rápida para el sector (0, 1): elevar a potencias mayores achica el número, y sacar raíz lo agranda. Para x > 1 ocurre lo opuesto.

Método paso a paso para resolver desigualdades

Paso 1: Pasa todo a un lado de la desigualdad para que quede expresión > 0 (o < 0, ≥ 0, ≤ 0).
Paso 2: Factoriza la expresión completamente.
Paso 3: Encuentra los puntos críticos (donde cada factor vale cero).
Paso 4: Marca los puntos críticos en la recta numérica, dividiendo en sectores.
Paso 5: Evalúa el signo de cada factor en cada sector (basta probar con un valor representativo).
Paso 6: Determina el signo del producto (o cociente) en cada sector.
Paso 7: Selecciona los sectores que satisfacen la desigualdad. No olvides revisar si incluyes o excluyes los extremos (≤ vs <).

Ejemplo resuelto 1: Desigualdad cuadrática

Problema: Resolver \(x^2 - 5x + 6 > 0\).

Paso 1: Ya está en la forma correcta.
Paso 2: Factorizamos: \((x - 2)(x - 3) > 0\).
Paso 3: Puntos críticos: \(x = 2\) y \(x = 3\).
Paso 4-6: Analizamos signos:

• Si \(x < 2\): \((x-2) < 0\) y \((x-3) < 0\) → producto positivo ✓
• Si \(2 < x < 3\): \((x-2) > 0\) y \((x-3) < 0\) → producto negativo
• Si \(x > 3\): \((x-2) > 0\) y \((x-3) > 0\) → producto positivo ✓

Respuesta: \(x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)\).

Ejemplo resuelto 2: Dominio con raíz cuadrada

Problema: Encontrar el dominio de \(f(x) = \sqrt{x^2 - 4}\).

El argumento de la raíz debe ser \(\geq 0\):
\(x^2 - 4 \geq 0\) → \((x-2)(x+2) \geq 0\).
Puntos críticos: \(x = -2\) y \(x = 2\).

• Si \(x \leq -2\): producto \(\geq 0\) ✓
• Si \(-2 < x < 2\): producto \(< 0\)
• Si \(x \geq 2\): producto \(\geq 0\) ✓

Dominio: \((-\infty, -2] \cup [2, \infty)\).

Ejemplo resuelto 3: Desigualdad racional

Problema: Resolver \(\frac{x - 1}{x + 2} > 0\).

Puntos críticos: \(x = 1\) y \(x = -2\) (excluido del dominio).

• Si \(x < -2\): \(\frac{(-)}{(-)}\) = positivo ✓
• Si \(-2 < x < 1\): \(\frac{(-)}{(+)}\) = negativo
• Si \(x > 1\): \(\frac{(+)}{(+)}\) = positivo ✓

Respuesta: \(x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)\).
Importante: \(x = -2\) se excluye porque el denominador sería cero.

Reglas para dominios

• Raíz cuadrada \(\sqrt{f(x)}\): necesita \(f(x) \geq 0\).
• Fracción \(\frac{g(x)}{h(x)}\): necesita \(h(x) \neq 0\).
• Raíz en denominador \(\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\): necesita \(f(x) > 0\) (estrictamente).
• Logaritmo \(\ln(f(x))\): necesita \(f(x) > 0\).
• Múltiples restricciones: el dominio es la intersección de todas las condiciones.

Consejos para el examen

• Memoriza los sectores: Saber que \(x^2 < x\) solo en \((0, 1)\) te ahorra factorizar en muchos problemas.
• Prueba con valores: Si dudas del signo en un sector, sustituye un número sencillo (como \(x = -2\), \(-0.5\), \(0.5\), \(2\)).
• Cuidado con los extremos: La diferencia entre \(<\) y \(\leq\) cambia si los puntos críticos se incluyen o no.
• Denominadores: Siempre excluye los valores que anulan el denominador, incluso en desigualdades \(\leq\) o \(\geq\).
• Diferencia de cuadrados: Recuerda que \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Es la factorización más útil en este tema.
• Doble desigualdad con valor absoluto: \(|f(x)| < k\) equivale a \(-k < f(x) < k\).