Sucesiones y límites
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Las sucesiones son listas ordenadas de números que siguen un patrón definido, y los límites describen hacia dónde se dirigen esos números cuando la lista crece sin fin.
Estos conceptos son fundamentales en la PAA del College Board.
A continuación se presentan los tipos principales de sucesiones, sus fórmulas y una introducción al concepto de límite.
Fórmula del término general: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
Ejemplo: 3, 7, 11, 15, 19, ... Aquí a₁ = 3 y d = 4. El término 20: a₂₀ = 3 + 19(4) = 79.
Suma de los primeros n términos: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
Ejemplo: Suma de los primeros 10 términos de la sucesión anterior: S₁₀ = 10(3 + 39)/2 = 10(42)/2 = 210.
Fórmula del término general: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹.
Ejemplo: 2, 6, 18, 54, ... Aquí a₁ = 2 y r = 3. El término 8: a₈ = 2 · 3⁷ = 2 · 2187 = 4374.
Suma de los primeros n términos (r ≠ 1): Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1).
Suma infinita (solo si |r| < 1): S∞ = a₁/(1 − r). Ejemplo: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1/(1 − 1/2) = 2.
Si ni diferencias ni cocientes son constantes, puede ser cuadrática (diferencias de segundo orden constantes), Fibonacci u otro patrón.
Ejemplo: 1, 4, 9, 16, 25, ... Diferencias: 3, 5, 7, 9. Diferencias de segundo orden: 2, 2, 2. Es cuadrática (aₙ = n²).
Si la sucesión se acerca a un número finito L, se dice que converge: lím(n→∞) aₙ = L.
Si no se acerca a ningún valor finito, diverge (puede ir a ±∞ u oscilar).
Ejemplo: aₙ = 1/n. Los términos son 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... Se acercan a 0. El límite es 0.
Ejemplo: aₙ = 2n + 1. Los términos crecen sin límite. La sucesión diverge.
Propiedades: lím[f(x) + g(x)] = lím f(x) + lím g(x). lím[k·f(x)] = k·lím f(x). lím[f(x)·g(x)] = lím f(x) · lím g(x).
Formas indeterminadas como 0/0 requieren técnicas especiales: factorización, racionalización o L'Hôpital.
Ejemplo: lím(x→2) (x² − 4)/(x − 2) = lím(x→2) (x+2)(x−2)/(x−2) = lím(x→2) (x+2) = 4.
Practicar con ambos conceptos prepara el camino hacia el cálculo diferencial e integral. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación PAA.
Estos conceptos son fundamentales en la PAA del College Board.
A continuación se presentan los tipos principales de sucesiones, sus fórmulas y una introducción al concepto de límite.
Sucesiones aritméticas
En una sucesión aritmética, la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma. Esa diferencia constante se llama diferencia común (d).Fórmula del término general: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
Ejemplo: 3, 7, 11, 15, 19, ... Aquí a₁ = 3 y d = 4. El término 20: a₂₀ = 3 + 19(4) = 79.
Suma de los primeros n términos: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
Ejemplo: Suma de los primeros 10 términos de la sucesión anterior: S₁₀ = 10(3 + 39)/2 = 10(42)/2 = 210.
Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante (r).Fórmula del término general: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹.
Ejemplo: 2, 6, 18, 54, ... Aquí a₁ = 2 y r = 3. El término 8: a₈ = 2 · 3⁷ = 2 · 2187 = 4374.
Suma de los primeros n términos (r ≠ 1): Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1).
Suma infinita (solo si |r| < 1): S∞ = a₁/(1 − r). Ejemplo: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1/(1 − 1/2) = 2.
Identificación de patrones
Para determinar el tipo de sucesión: calcular las diferencias entre términos consecutivos. Si son constantes, es aritmética. Si no, calcular los cocientes: si son constantes, es geométrica.Si ni diferencias ni cocientes son constantes, puede ser cuadrática (diferencias de segundo orden constantes), Fibonacci u otro patrón.
Ejemplo: 1, 4, 9, 16, 25, ... Diferencias: 3, 5, 7, 9. Diferencias de segundo orden: 2, 2, 2. Es cuadrática (aₙ = n²).
Concepto de límite
El límite de una sucesión es el valor al que se acercan los términos cuando n crece indefinidamente.Si la sucesión se acerca a un número finito L, se dice que converge: lím(n→∞) aₙ = L.
Si no se acerca a ningún valor finito, diverge (puede ir a ±∞ u oscilar).
Ejemplo: aₙ = 1/n. Los términos son 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... Se acercan a 0. El límite es 0.
Ejemplo: aₙ = 2n + 1. Los términos crecen sin límite. La sucesión diverge.
Límites de funciones
El límite de f(x) cuando x tiende a c es el valor al que se acerca f(x) cuando x se aproxima a c.Propiedades: lím[f(x) + g(x)] = lím f(x) + lím g(x). lím[k·f(x)] = k·lím f(x). lím[f(x)·g(x)] = lím f(x) · lím g(x).
Formas indeterminadas como 0/0 requieren técnicas especiales: factorización, racionalización o L'Hôpital.
Ejemplo: lím(x→2) (x² − 4)/(x − 2) = lím(x→2) (x+2)(x−2)/(x−2) = lím(x→2) (x+2) = 4.
Cierre
Las sucesiones y los límites conectan el álgebra con el cálculo. Reconocer patrones aritméticos y geométricos permite resolver sumas y predecir términos, mientras que los límites revelan el comportamiento a largo plazo.Practicar con ambos conceptos prepara el camino hacia el cálculo diferencial e integral. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación PAA.