Figuras Geométricas Y Solidos
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Las figuras geométricas y los sólidos son la base del razonamiento espacial: calcular áreas, perímetros, volúmenes y superficies es una habilidad que se evalúa constantemente.
Estos problemas aparecen con frecuencia en el EXANI-II del CENEVAL.
A continuación se presentan las fórmulas y conceptos esenciales para figuras planas y cuerpos tridimensionales.
Trapecio: A = (Base mayor + Base menor) × altura / 2. Paralelogramo: A = base × altura perpendicular.
Rombo: A = (diagonal₁ × diagonal₂) / 2. Polígono regular: A = (perímetro × apotema) / 2.
Cada ángulo interior de un polígono regular: [(n − 2) × 180°] / n. Para un hexágono regular: (6 − 2) × 180° / 6 = 120°.
Número de diagonales: n(n − 3) / 2. Un hexágono tiene 6(3)/2 = 9 diagonales.
Diagonal de un cuadrado de lado a: a√2. Diagonal de un rectángulo: √(b² + h²).
Cilindro: V = πr²h. Cono: V = (1/3)πr²h. Esfera: V = (4/3)πr³.
Pirámide (cualquier base): V = (1/3) × área de la base × altura.
Prisma triangular: V = (área del triángulo base) × longitud.
Ejemplo: Un cilindro de radio 3 cm y altura 10 cm: V = π(9)(10) = 90π ≈ 282,7 cm³.
Cilindro: A_lateral = 2πrh, A_total = 2πr(r + h). Cono: A_lateral = πrg (g = generatriz).
Esfera: A = 4πr².
Ejemplo: Esfera de radio 5 cm: A = 4π(25) = 100π ≈ 314,2 cm².
Tetraedro: 4 caras triangulares, 4 vértices, 6 aristas.
Cubo: 6 caras cuadradas, 8 vértices, 12 aristas.
Octaedro: 8 caras triangulares, 6 vértices, 12 aristas.
Dodecaedro: 12 caras pentagonales, 20 vértices, 30 aristas.
Icosaedro: 20 caras triangulares, 12 vértices, 30 aristas.
Un rectángulo girado alrededor de uno de sus lados produce un cilindro. Un triángulo rectángulo girado alrededor de un cateto produce un cono.
Un semicírculo girado alrededor de su diámetro produce una esfera.
La clave está en identificar la figura o sólido correcto, extraer las dimensiones relevantes y aplicar la fórmula apropiada. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación EXANI-II.
Estos problemas aparecen con frecuencia en el EXANI-II del CENEVAL.
A continuación se presentan las fórmulas y conceptos esenciales para figuras planas y cuerpos tridimensionales.
Figuras planas: área y perímetro
Triángulo: A = (base × altura)/2. Rectángulo: A = base × altura. Círculo: A = πr², circunferencia = 2πr.Trapecio: A = (Base mayor + Base menor) × altura / 2. Paralelogramo: A = base × altura perpendicular.
Rombo: A = (diagonal₁ × diagonal₂) / 2. Polígono regular: A = (perímetro × apotema) / 2.
Propiedades de polígonos
Suma de ángulos interiores de un polígono de n lados: (n − 2) × 180°.Cada ángulo interior de un polígono regular: [(n − 2) × 180°] / n. Para un hexágono regular: (6 − 2) × 180° / 6 = 120°.
Número de diagonales: n(n − 3) / 2. Un hexágono tiene 6(3)/2 = 9 diagonales.
Diagonal de un cuadrado de lado a: a√2. Diagonal de un rectángulo: √(b² + h²).
Sólidos: volumen
Cubo de arista a: V = a³. Prisma rectangular: V = largo × ancho × alto.Cilindro: V = πr²h. Cono: V = (1/3)πr²h. Esfera: V = (4/3)πr³.
Pirámide (cualquier base): V = (1/3) × área de la base × altura.
Prisma triangular: V = (área del triángulo base) × longitud.
Ejemplo: Un cilindro de radio 3 cm y altura 10 cm: V = π(9)(10) = 90π ≈ 282,7 cm³.
Sólidos: área superficial
Cubo: A_total = 6a². Prisma rectangular: A_total = 2(lw + lh + wh).Cilindro: A_lateral = 2πrh, A_total = 2πr(r + h). Cono: A_lateral = πrg (g = generatriz).
Esfera: A = 4πr².
Ejemplo: Esfera de radio 5 cm: A = 4π(25) = 100π ≈ 314,2 cm².
Sólidos platónicos
Son los cinco poliedros regulares. Sus propiedades se relacionan mediante la fórmula de Euler: V − A + C = 2 (vértices − aristas + caras).Tetraedro: 4 caras triangulares, 4 vértices, 6 aristas.
Cubo: 6 caras cuadradas, 8 vértices, 12 aristas.
Octaedro: 8 caras triangulares, 6 vértices, 12 aristas.
Dodecaedro: 12 caras pentagonales, 20 vértices, 30 aristas.
Icosaedro: 20 caras triangulares, 12 vértices, 30 aristas.
Sólidos de revolución
Al girar una figura plana alrededor de un eje se genera un sólido de revolución.Un rectángulo girado alrededor de uno de sus lados produce un cilindro. Un triángulo rectángulo girado alrededor de un cateto produce un cono.
Un semicírculo girado alrededor de su diámetro produce una esfera.
Cierre
El dominio de la geometría se construye memorizando las fórmulas fundamentales y comprendiendo cuándo aplicar cada una.La clave está en identificar la figura o sólido correcto, extraer las dimensiones relevantes y aplicar la fórmula apropiada. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación EXANI-II.