coordenadas cartesianas, polares y tridimensionales
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Los sistemas de coordenadas permiten representar puntos, figuras y movimientos mediante números, convirtiendo la geometría en algo que se puede calcular.
Estos conceptos son fundamentales en la PAES del DEMRE.
Aparecen en problemas de ubicación espacial, distancias y transformaciones.
A continuación se presentan los tres sistemas de coordenadas que necesitas dominar y las herramientas para trabajar con cada uno.
El punto donde se cruzan se llama origen y tiene coordenadas (0, 0).
Cualquier punto del plano se identifica con un par ordenado (x, y), donde x indica la posición horizontal e y la posición vertical.
Ejemplo: El punto (3, −2) se encuentra 3 unidades a la derecha del origen y 2 unidades hacia abajo.
Cuadrante I: x positiva, y positiva. Cuadrante II: x negativa, y positiva.
Cuadrante III: ambas negativas. Cuadrante IV: x positiva, y negativa.
Nota: los puntos sobre los ejes no pertenecen a ningún cuadrante.
d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
Ejemplo: Hallar la distancia entre A(1, 2) y B(4, 6).
d = √[(4 − 1)² + (6 − 2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5 unidades.
El procedimiento consiste en restar las coordenadas correspondientes, elevar al cuadrado cada diferencia, sumar y extraer la raíz cuadrada.
M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
Ejemplo: Punto medio entre A(−3, 4) y B(5, −2).
M = ((−3 + 5)/2, (4 + (−2))/2) = (2/2, 2/2) = (1, 1).
Esta fórmula resulta útil para encontrar centros de segmentos, mediatrices y centros de circunferencias.
Un punto se escribe como (r, θ). El ángulo puede expresarse en grados o radianes.
Ejemplo: El punto polar (5, 60°) se encuentra a 5 unidades del origen, formando un ángulo de 60° con el eje positivo de las x.
De polares a cartesianas: x = r·cos(θ) e y = r·sen(θ).
Ejemplo: Convertir el punto cartesiano (3, 3) a polares.
r = √(9 + 9) = √18 = 3√2 ≈ 4,24. θ = arctan(3/3) = arctan(1) = 45°.
Resultado: (3√2, 45°).
Ejemplo inverso: Convertir (4, 30°) a cartesianas.
x = 4·cos(30°) = 4·(√3/2) = 2√3 ≈ 3,46. y = 4·sen(30°) = 4·(1/2) = 2.
Resultado: (2√3, 2).
La distancia entre dos puntos en 3D es: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²].
Ejemplo: Distancia entre A(1, 0, 3) y B(4, −2, 1).
d = √[(4−1)² + (−2−0)² + (1−3)²] = √[9 + 4 + 4] = √17 ≈ 4,12 unidades.
El punto medio en 3D también promedia las tres coordenadas: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2).
Reflexión respecto al eje x: (x, y) → (x, −y). Reflexión respecto al eje y: (x, y) → (−x, y).
Reflexión respecto al origen: (x, y) → (−x, −y).
Rotación de 90° antihorario: (x, y) → (−y, x). Rotación de 180°: (x, y) → (−x, −y).
Ejemplo: Rotar el punto (2, 5) un ángulo de 90° en sentido antihorario. Resultado: (−5, 2).
La práctica con estos conceptos fortalece tu razonamiento espacial y tu capacidad para interpretar gráficas. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación PAES.
Estos conceptos son fundamentales en la PAES del DEMRE.
Aparecen en problemas de ubicación espacial, distancias y transformaciones.
A continuación se presentan los tres sistemas de coordenadas que necesitas dominar y las herramientas para trabajar con cada uno.
El plano cartesiano
El plano cartesiano se forma con dos rectas numéricas perpendiculares: el eje horizontal (eje x) y el eje vertical (eje y).El punto donde se cruzan se llama origen y tiene coordenadas (0, 0).
Cualquier punto del plano se identifica con un par ordenado (x, y), donde x indica la posición horizontal e y la posición vertical.
Ejemplo: El punto (3, −2) se encuentra 3 unidades a la derecha del origen y 2 unidades hacia abajo.
Los cuatro cuadrantes
Los ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. El signo de las coordenadas indica en cuál se ubica cada punto.Cuadrante I: x positiva, y positiva. Cuadrante II: x negativa, y positiva.
Cuadrante III: ambas negativas. Cuadrante IV: x positiva, y negativa.
Nota: los puntos sobre los ejes no pertenecen a ningún cuadrante.
Distancia entre dos puntos
Para calcular la distancia entre dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) se aplica la fórmula derivada del teorema de Pitágoras:d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
Ejemplo: Hallar la distancia entre A(1, 2) y B(4, 6).
d = √[(4 − 1)² + (6 − 2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5 unidades.
El procedimiento consiste en restar las coordenadas correspondientes, elevar al cuadrado cada diferencia, sumar y extraer la raíz cuadrada.
Punto medio de un segmento
El punto medio M entre A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) se calcula promediando cada coordenada:M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
Ejemplo: Punto medio entre A(−3, 4) y B(5, −2).
M = ((−3 + 5)/2, (4 + (−2))/2) = (2/2, 2/2) = (1, 1).
Esta fórmula resulta útil para encontrar centros de segmentos, mediatrices y centros de circunferencias.
Coordenadas polares
En el sistema polar, cada punto se describe con un radio r (distancia al origen) y un ángulo θ (medido desde el eje x positivo en sentido antihorario).Un punto se escribe como (r, θ). El ángulo puede expresarse en grados o radianes.
Ejemplo: El punto polar (5, 60°) se encuentra a 5 unidades del origen, formando un ángulo de 60° con el eje positivo de las x.
Conversión entre cartesianas y polares
De cartesianas a polares: r = √(x² + y²) y θ = arctan(y/x), ajustando el cuadrante según los signos de x e y.De polares a cartesianas: x = r·cos(θ) e y = r·sen(θ).
Ejemplo: Convertir el punto cartesiano (3, 3) a polares.
r = √(9 + 9) = √18 = 3√2 ≈ 4,24. θ = arctan(3/3) = arctan(1) = 45°.
Resultado: (3√2, 45°).
Ejemplo inverso: Convertir (4, 30°) a cartesianas.
x = 4·cos(30°) = 4·(√3/2) = 2√3 ≈ 3,46. y = 4·sen(30°) = 4·(1/2) = 2.
Resultado: (2√3, 2).
Coordenadas en tres dimensiones
El espacio tridimensional agrega un tercer eje (eje z) perpendicular al plano xy. Un punto se representa como (x, y, z).La distancia entre dos puntos en 3D es: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²].
Ejemplo: Distancia entre A(1, 0, 3) y B(4, −2, 1).
d = √[(4−1)² + (−2−0)² + (1−3)²] = √[9 + 4 + 4] = √17 ≈ 4,12 unidades.
El punto medio en 3D también promedia las tres coordenadas: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2).
Transformaciones de puntos
Las reflexiones y rotaciones cambian las coordenadas de un punto siguiendo reglas específicas:Reflexión respecto al eje x: (x, y) → (x, −y). Reflexión respecto al eje y: (x, y) → (−x, y).
Reflexión respecto al origen: (x, y) → (−x, −y).
Rotación de 90° antihorario: (x, y) → (−y, x). Rotación de 180°: (x, y) → (−x, −y).
Ejemplo: Rotar el punto (2, 5) un ángulo de 90° en sentido antihorario. Resultado: (−5, 2).
Cierre
Dominar los sistemas de coordenadas te permite resolver problemas de ubicación, distancia, conversión entre sistemas y transformaciones geométricas.La práctica con estos conceptos fortalece tu razonamiento espacial y tu capacidad para interpretar gráficas. Te deseamos mucho éxito en tu Preparación PAES.