Factorizacion y Divisibilidad
Selecciona un nivel de dificultad para comenzar a practicar. Los exámenes fáciles son gratuitos. Los intermedios y difíciles requieren una suscripción premium.
La factorización y la divisibilidad son herramientas fundamentales de la aritmética que te permiten descomponer números, simplificar expresiones y resolver problemas de manera eficiente. En el EXANI-II (CENEVAL), estos conceptos aparecen con frecuencia tanto en preguntas directas como en problemas que requieren simplificación de fracciones, cálculo de MCD y MCM, o análisis de propiedades numéricas. Dominar este tema te dará una ventaja clara en la sección de pensamiento matemático.
Divisible entre 2: el último dígito es par (0, 2, 4, 6, 8). Ejemplo: 4 738 → termina en 8, es divisible entre 2.
Divisible entre 3: la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Ejemplo: 621 → 6+2+1 = 9, divisible entre 3.
Divisible entre 4: los dos últimos dígitos forman un número divisible entre 4. Ejemplo: 1 316 → 16 ÷ 4 = 4, sí es divisible.
Divisible entre 5: termina en 0 o 5. Ejemplo: 2 735 → termina en 5, divisible entre 5.
Divisible entre 6: es divisible entre 2 y entre 3 al mismo tiempo. Ejemplo: 534 → par y 5+3+4 = 12 (múltiplo de 3).
Divisible entre 8: los tres últimos dígitos forman un número divisible entre 8. Ejemplo: 5 120 → 120 ÷ 8 = 15, sí.
Divisible entre 9: la suma de sus dígitos es múltiplo de 9. Ejemplo: 2 943 → 2+9+4+3 = 18, divisible entre 9.
Divisible entre 10: termina en 0. Ejemplo: 8 430 → termina en 0.
Divisible entre 11: la diferencia entre la suma de dígitos en posición impar y la suma de dígitos en posición par es 0 o múltiplo de 11. Ejemplo: 9 163 → (9+6) − (1+3) = 15 − 4 = 11, divisible entre 11.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Nota que el 2 es el único primo par; todos los demás primos son impares.
La Criba de Eratóstenes es un método clásico para encontrar todos los primos hasta cierto número n: se escriben los números del 2 al n, y se van tachando los múltiplos de cada primo encontrado (primero los múltiplos de 2, luego de 3, de 5, etc.). Los números que sobreviven son primos. En el EXANI-II no te pedirán aplicar la criba completa, pero comprender el concepto te ayuda a identificar primos rápidamente.
Método del árbol de factores: divide el número entre el menor primo posible, y repite con el cociente hasta llegar a 1.
Ejemplo — Factorizar 360:
360 ÷ 2 = 180
180 ÷ 2 = 90
90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
Resultado: 360 = 2³ × 3² × 5
Ejemplo — Factorizar 252:
252 = 2² × 3² × 7 (verifica: 4 × 9 × 7 = 252 ✓)
Método por factorización prima:
• MCD: se toman los factores primos comunes con el menor exponente.
• MCM: se toman todos los factores primos con el mayor exponente.
Ejemplo — MCD y MCM de 60 y 84:
60 = 2² × 3 × 5
84 = 2² × 3 × 7
MCD(60, 84) = 2² × 3 = 12 (factores comunes, menor exponente)
MCM(60, 84) = 2² × 3 × 5 × 7 = 420 (todos los factores, mayor exponente)
Propiedad útil: MCD(a, b) × MCM(a, b) = a × b. Verifica: 12 × 420 = 5 040 = 60 × 84 ✓
Ejemplo — MCD y MCM de 48, 36 y 60:
48 = 2⁴ × 3, 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5
MCD = 2² × 3 = 12
MCM = 2⁴ × 3² × 5 = 720
1. Simplificación de fracciones: para reducir 84/120, calcula MCD(84,120) = 12, entonces 84/120 = 7/10.
2. Problemas de reparto equitativo: "¿De cuántas formas se pueden repartir 36 objetos en grupos iguales?" → encontrar los divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 formas).
3. Problemas de sincronización: "Un semáforo cambia cada 40 s y otro cada 60 s. ¿Cada cuánto coinciden?" → MCM(40, 60) = 120 s.
4. Criterios de divisibilidad rápida: "¿Cuál de los siguientes números es divisible entre 6?" → aplica las reglas de divisibilidad para 2 y 3.
5. Descomposición en factores: te pueden pedir la factorización prima directa o usarla para determinar la cantidad de divisores de un número. Si n = pa × qb, la cantidad de divisores es (a+1)(b+1).
Divisibilidad
Un número a es divisible entre b si al dividir a ÷ b el residuo es cero. Las reglas de divisibilidad te permiten determinar esto sin hacer la división completa:Divisible entre 2: el último dígito es par (0, 2, 4, 6, 8). Ejemplo: 4 738 → termina en 8, es divisible entre 2.
Divisible entre 3: la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Ejemplo: 621 → 6+2+1 = 9, divisible entre 3.
Divisible entre 4: los dos últimos dígitos forman un número divisible entre 4. Ejemplo: 1 316 → 16 ÷ 4 = 4, sí es divisible.
Divisible entre 5: termina en 0 o 5. Ejemplo: 2 735 → termina en 5, divisible entre 5.
Divisible entre 6: es divisible entre 2 y entre 3 al mismo tiempo. Ejemplo: 534 → par y 5+3+4 = 12 (múltiplo de 3).
Divisible entre 8: los tres últimos dígitos forman un número divisible entre 8. Ejemplo: 5 120 → 120 ÷ 8 = 15, sí.
Divisible entre 9: la suma de sus dígitos es múltiplo de 9. Ejemplo: 2 943 → 2+9+4+3 = 18, divisible entre 9.
Divisible entre 10: termina en 0. Ejemplo: 8 430 → termina en 0.
Divisible entre 11: la diferencia entre la suma de dígitos en posición impar y la suma de dígitos en posición par es 0 o múltiplo de 11. Ejemplo: 9 163 → (9+6) − (1+3) = 15 − 4 = 11, divisible entre 11.
Números Primos y Compuestos
Un número primo es aquel mayor que 1 que solo es divisible entre 1 y sí mismo. Un número compuesto tiene al menos un divisor adicional. El número 1 no se clasifica como primo ni compuesto.Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Nota que el 2 es el único primo par; todos los demás primos son impares.
La Criba de Eratóstenes es un método clásico para encontrar todos los primos hasta cierto número n: se escriben los números del 2 al n, y se van tachando los múltiplos de cada primo encontrado (primero los múltiplos de 2, luego de 3, de 5, etc.). Los números que sobreviven son primos. En el EXANI-II no te pedirán aplicar la criba completa, pero comprender el concepto te ayuda a identificar primos rápidamente.
Factorización Prima
Factorizar un número es expresarlo como producto de sus factores primos. Todo entero mayor que 1 tiene una factorización prima única (Teorema Fundamental de la Aritmética).Método del árbol de factores: divide el número entre el menor primo posible, y repite con el cociente hasta llegar a 1.
Ejemplo — Factorizar 360:
360 ÷ 2 = 180
180 ÷ 2 = 90
90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
Resultado: 360 = 2³ × 3² × 5
Ejemplo — Factorizar 252:
252 = 2² × 3² × 7 (verifica: 4 × 9 × 7 = 252 ✓)
MCD y MCM
El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el mayor número que divide a todos ellos. El Mínimo Común Múltiplo (MCM) es el menor número que es múltiplo de todos ellos.Método por factorización prima:
• MCD: se toman los factores primos comunes con el menor exponente.
• MCM: se toman todos los factores primos con el mayor exponente.
Ejemplo — MCD y MCM de 60 y 84:
60 = 2² × 3 × 5
84 = 2² × 3 × 7
MCD(60, 84) = 2² × 3 = 12 (factores comunes, menor exponente)
MCM(60, 84) = 2² × 3 × 5 × 7 = 420 (todos los factores, mayor exponente)
Propiedad útil: MCD(a, b) × MCM(a, b) = a × b. Verifica: 12 × 420 = 5 040 = 60 × 84 ✓
Ejemplo — MCD y MCM de 48, 36 y 60:
48 = 2⁴ × 3, 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5
MCD = 2² × 3 = 12
MCM = 2⁴ × 3² × 5 = 720
Aplicaciones en el EXANI-II
En el examen CENEVAL encontrarás estos tipos de problemas relacionados con factorización y divisibilidad:1. Simplificación de fracciones: para reducir 84/120, calcula MCD(84,120) = 12, entonces 84/120 = 7/10.
2. Problemas de reparto equitativo: "¿De cuántas formas se pueden repartir 36 objetos en grupos iguales?" → encontrar los divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 formas).
3. Problemas de sincronización: "Un semáforo cambia cada 40 s y otro cada 60 s. ¿Cada cuánto coinciden?" → MCM(40, 60) = 120 s.
4. Criterios de divisibilidad rápida: "¿Cuál de los siguientes números es divisible entre 6?" → aplica las reglas de divisibilidad para 2 y 3.
5. Descomposición en factores: te pueden pedir la factorización prima directa o usarla para determinar la cantidad de divisores de un número. Si n = pa × qb, la cantidad de divisores es (a+1)(b+1).