En este tema practicarás los conceptos de geometría analítica de la recta: pendiente, distancia entre puntos, punto medio, ecuaciones de la recta en sus distintas formas, rectas paralelas y perpendiculares, distancia de un punto a una recta, y aplicaciones con triángulos y figuras en el plano coordenado.
Geometría analítica: recta
Estas preguntas de Geometría analítica: recta están alineadas con el PNE del MEP en Costa Rica.
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La ecuación de la recta, la pendiente y las relaciones entre rectas paralelas y perpendiculares pertenecen a la Geometría analítica que el MEP incluye en el programa de secundaria. En las PNE de Costa Rica, un ítem típico da dos puntos y pide la ecuación, o da una recta y pide otra perpendicular que pase por un punto. Estos simulacros trabajan las formas punto-pendiente y pendiente-intersección y la interpretación de la pendiente como razón de cambio.
La geometría analítica de la recta combina álgebra y geometría para estudiar puntos, segmentos y rectas en el plano cartesiano.
Dominar estos conceptos es fundamental para cualquier examen de admisión universitaria, ya que aparecen en problemas de pendiente, ecuaciones de rectas, distancias y relaciones entre rectas.
A continuación se presentan los conceptos clave para trabajar con la recta en el plano coordenado.
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Si m > 0 la recta sube de izquierda a derecha. Si m < 0 la recta baja. Si m = 0 la recta es horizontal. Si m no está definida (Δx = 0) la recta es vertical.
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Ejemplo: la distancia entre (1, 2) y (4, 6) es √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
Es simplemente el promedio de las coordenadas x y el promedio de las coordenadas y.
Para convertir entre formas se despeja y se reorganiza. Por ejemplo, de y = 3x − 2 a forma general: −3x + y + 2 = 0, o equivalentemente 3x − y − 2 = 0.
Perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es −1: m₁ · m₂ = −1, es decir, m₂ = −1/m₁.
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
Ejemplo: distancia de (1, 2) a 3x + 4y − 5 = 0 es |3(1) + 4(2) − 5| / √(9 + 16) = |6| / 5 = 6/5.
Es importante que la recta esté en forma general Ax + By + C = 0 antes de aplicar la fórmula.
El ángulo agudo θ entre dos rectas con pendientes m₁ y m₂ se calcula con:
tan(θ) = |m₁ − m₂| / |1 + m₁ · m₂|
Si 1 + m₁·m₂ = 0, las rectas son perpendiculares (θ = 90°).
Dominar la pendiente, las formas de ecuación de la recta, las condiciones de paralelismo y perpendicularidad, y la distancia punto-recta te permitirá resolver con confianza cualquier problema de este tema. Te deseamos mucho éxito en tu preparación.
Dominar estos conceptos es fundamental para cualquier examen de admisión universitaria, ya que aparecen en problemas de pendiente, ecuaciones de rectas, distancias y relaciones entre rectas.
A continuación se presentan los conceptos clave para trabajar con la recta en el plano coordenado.
Pendiente de una recta
La pendiente mide la inclinación de una recta. Se calcula como el cambio vertical dividido entre el cambio horizontal entre dos puntos:m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Si m > 0 la recta sube de izquierda a derecha. Si m < 0 la recta baja. Si m = 0 la recta es horizontal. Si m no está definida (Δx = 0) la recta es vertical.
Distancia entre dos puntos
La distancia entre P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂) se obtiene con el teorema de Pitágoras:d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Ejemplo: la distancia entre (1, 2) y (4, 6) es √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Punto medio
El punto medio M de un segmento con extremos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) es:M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
Es simplemente el promedio de las coordenadas x y el promedio de las coordenadas y.
Formas de la ecuación de la recta
Existen varias formas equivalentes de escribir la ecuación de una recta:Para convertir entre formas se despeja y se reorganiza. Por ejemplo, de y = 3x − 2 a forma general: −3x + y + 2 = 0, o equivalentemente 3x − y − 2 = 0.
Rectas paralelas y perpendiculares
Paralelas: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente: m₁ = m₂.Perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es −1: m₁ · m₂ = −1, es decir, m₂ = −1/m₁.
Distancia de un punto a una recta
La distancia del punto P(x₀, y₀) a la recta Ax + By + C = 0 es:d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
Ejemplo: distancia de (1, 2) a 3x + 4y − 5 = 0 es |3(1) + 4(2) − 5| / √(9 + 16) = |6| / 5 = 6/5.
Es importante que la recta esté en forma general Ax + By + C = 0 antes de aplicar la fórmula.
Intersecciones y ángulo entre rectas
Para encontrar el punto de intersección de dos rectas, se resuelve el sistema de ecuaciones formado por ambas.El ángulo agudo θ entre dos rectas con pendientes m₁ y m₂ se calcula con:
tan(θ) = |m₁ − m₂| / |1 + m₁ · m₂|
Si 1 + m₁·m₂ = 0, las rectas son perpendiculares (θ = 90°).
Cierre
La geometría analítica de la recta es la base de muchos problemas de matemáticas en exámenes de admisión.Dominar la pendiente, las formas de ecuación de la recta, las condiciones de paralelismo y perpendicularidad, y la distancia punto-recta te permitirá resolver con confianza cualquier problema de este tema. Te deseamos mucho éxito en tu preparación.