Problemas de Trabajo y Tasas

Los problemas de trabajo y tasas aparecen frecuentemente en exámenes de admisión. Se trata de situaciones donde dos o más personas, máquinas o tuberías realizan una tarea y necesitas calcular cuánto tardan trabajando juntos. El método del MCM (Mínimo Común Múltiplo) convierte las fracciones en números enteros, haciendo el cálculo mucho más rápido y libre de errores.

El concepto de tasa de trabajo

Si una persona completa una tarea en T horas, su tasa de trabajo es 1/T de la tarea por hora.
Por ejemplo: si Ana pinta una pared en 6 horas, cada hora pinta 1/6 de la pared.
Si Carlos pinta la misma pared en 3 horas, cada hora pinta 1/3 de la pared.
Trabajando juntos, su tasa combinada es 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2. Juntos tardan 2 horas.

El problema con este método tradicional es que manejar fracciones es lento y propenso a errores. Aquí es donde entra el método del MCM.

El método del MCM (el truco rápido)

En lugar de trabajar con fracciones, asignamos un número total de "unidades de trabajo" igual al MCM de los tiempos individuales. Esto convierte las tasas fraccionarias en números enteros.

Pasos del método:

• Paso 1: Identifica los tiempos individuales de cada trabajador/máquina.
• Paso 2: Calcula el MCM de esos tiempos. Este será el "trabajo total" en unidades.
• Paso 3: Divide el MCM entre cada tiempo individual para obtener la tasa (unidades/hora) de cada uno.
• Paso 4: Suma las tasas para obtener la tasa combinada.
• Paso 5: Divide el trabajo total (MCM) entre la tasa combinada para obtener el tiempo juntos.

Ejemplo resuelto paso a paso

Problema: Juan puede pintar una casa en 6 horas y Pedro en 4 horas. ¿Cuánto tardan juntos?

Paso 1: Tiempos individuales: Juan = 6 h, Pedro = 4 h.
Paso 2: MCM(6, 4) = 12. El trabajo total equivale a 12 unidades.
Paso 3: Tasa de Juan = 12 ÷ 6 = 2 unidades/hora. Tasa de Pedro = 12 ÷ 4 = 3 unidades/hora.
Paso 4: Tasa combinada = 2 + 3 = 5 unidades/hora.
Paso 5: Tiempo juntos = 12 ÷ 5 = 12/5 = 2.4 horas = 2 horas y 24 minutos.

Ejemplo con tres trabajadores

Problema: La máquina A completa un pedido en 4 horas, la B en 6 horas y la C en 12 horas. ¿Cuánto tardan las tres juntas?

MCM(4, 6, 12) = 12 unidades de trabajo total.
Tasa A = 12 ÷ 4 = 3 u/h. Tasa B = 12 ÷ 6 = 2 u/h. Tasa C = 12 ÷ 12 = 1 u/h.
Tasa combinada = 3 + 2 + 1 = 6 u/h.
Tiempo juntas = 12 ÷ 6 = 2 horas.

Tuberías: llenado y drenaje

Cuando una tubería llena y otra drena, la tubería de drenaje tiene tasa negativa.

Problema: Una llave llena un tanque en 8 horas. Un desagüe lo vacía en 12 horas. Si ambos están abiertos, ¿cuánto tarda en llenarse?

MCM(8, 12) = 24 unidades.
Tasa de llenado = 24 ÷ 8 = +3 u/h.
Tasa de drenaje = 24 ÷ 12 = −2 u/h (resta porque vacía).
Tasa neta = 3 − 2 = 1 u/h.
Tiempo = 24 ÷ 1 = 24 horas.

Trabajador que se une después

Problema: Ana termina un informe en 10 horas. Después de 4 horas trabajando sola, se une Beatriz (que lo haría en 15 horas). ¿Cuánto más tardan en terminar?

MCM(10, 15) = 30 unidades de trabajo total.
Tasa de Ana = 30 ÷ 10 = 3 u/h. Tasa de Beatriz = 30 ÷ 15 = 2 u/h.
En las primeras 4 horas, Ana hace 3 × 4 = 12 unidades. Quedan 30 − 12 = 18 unidades.
Juntas hacen 3 + 2 = 5 u/h. Tiempo restante = 18 ÷ 5 = 3.6 horas = 3 h 36 min.

Problemas inversos

A veces te dan el tiempo combinado y debes encontrar un tiempo individual.

Problema: Dos pintores juntos terminan en 4 horas. Uno solo tarda 6 horas. ¿Cuánto tarda el otro solo?

MCM(4, 6) = 12 unidades. Tasa combinada = 12 ÷ 4 = 3 u/h. Tasa del primero = 12 ÷ 6 = 2 u/h.
Tasa del segundo = 3 − 2 = 1 u/h. Tiempo del segundo = 12 ÷ 1 = 12 horas.

Eficiencia relativa

Si un trabajador es "el doble de rápido" que otro, su tasa es el doble.

Problema: María es el doble de rápida que Luis. Juntos terminan en 4 horas. ¿Cuánto tarda cada uno solo?

Sea la tasa de Luis = x u/h, entonces la de María = 2x u/h. Tasa combinada = 3x u/h.
Si juntos tardan 4 h y el trabajo total = tasa × tiempo → trabajo = 3x × 4 = 12x unidades.
Luis solo: 12x ÷ x = 12 horas. María sola: 12x ÷ 2x = 6 horas.

Cómo calcular el MCM rápidamente

• Dos números: MCM(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b). Ejemplo: MCM(6, 4) = 24 ÷ 2 = 12.
• Tres números: Calcula MCM de los dos primeros y luego MCM del resultado con el tercero.
• MCM de números comunes: MCM(3,4)=12, MCM(4,6)=12, MCM(6,8)=24, MCM(5,6)=30, MCM(3,5)=15, MCM(4,5)=20, MCM(6,10)=30.

Errores comunes a evitar

• Sumar tiempos directamente: Si A tarda 3h y B tarda 6h, juntos NO tardan 9h ni 4.5h. Debes sumar tasas, no tiempos.
• Olvidar el signo negativo: En problemas de llenado/drenaje, el desagüe siempre resta.
• No restar el trabajo ya hecho: Cuando alguien se une después, calcula primero cuánto trabajo se completó antes.

Tips para el examen

• Siempre usa el MCM. Evita trabajar con fracciones; el MCM las elimina y te ahorra tiempo valioso.
• Verifica que tu respuesta sea menor que el menor tiempo individual. Si dos trabajan juntos, siempre terminan más rápido que cualquiera solo.
• Si el resultado da un número mayor que los tiempos individuales, revisa los signos (probablemente hay un drenaje o contratrabajo).
• En problemas de eficiencia, define una variable para la tasa menor y expresa las demás en función de ella.
• Practica los MCM de los pares más comunes (3,4), (4,6), (5,6), (6,8), (3,5,6) para ganar velocidad.