operaciones aritméticas
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Las operaciones aritméticas son las herramientas básicas del cálculo numérico: sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar y radicar.
Su dominio es indispensable en las Pruebas Nacionales del MINERD.
A continuación se presentan las propiedades, jerarquía y técnicas que permiten resolver operaciones aritméticas con seguridad y velocidad.
1. Paréntesis (del más interno al más externo).
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicación y división (de izquierda a derecha).
4. Suma y resta (de izquierda a derecha).
Ejemplo: 12 ÷ 4 + 3 × 2 = 3 + 6 = 9. No es (12 ÷ 7) × 2. La multiplicación y división se resuelven antes que suma y resta.
Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c). Se puede reagrupar sin cambiar el resultado.
Distributiva: a × (b + c) = a × b + a × c. Permite expandir o factorizar expresiones.
Elemento neutro: 0 para la suma (a + 0 = a) y 1 para la multiplicación (a × 1 = a).
Inverso aditivo: a + (−a) = 0. Inverso multiplicativo: a × (1/a) = 1 (a ≠ 0).
Ejemplo: (−4) × (−3) = 12. (−6) × 5 = −30. (−20) ÷ (−4) = 5.
Para suma de enteros con diferente signo: se restan los valores absolutos y se conserva el signo del mayor. Ejemplo: −8 + 5 = −3.
Producto de misma base: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Cociente: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
Potencia de potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ. Potencia de un producto: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
Exponente cero: a⁰ = 1 (a ≠ 0). Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Ejemplo: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128. (3²)³ = 3⁶ = 729.
Raíz cuadrada: √16 = 4 porque 4² = 16. Raíz cúbica: ³√27 = 3 porque 3³ = 27.
Propiedad del producto: √(ab) = √a × √b. Propiedad del cociente: √(a/b) = √a / √b.
Simplificación: √50 = √(25 × 2) = 5√2. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
Racionalización del denominador: 1/√3 = √3/3 (se multiplica arriba y abajo por √3).
Calcular porcentaje de un número: 15% de 200 = 0,15 × 200 = 30.
Aumento porcentual: valor final = valor inicial × (1 + tasa). 300 con aumento de 20% = 300 × 1,20 = 360.
Descuento porcentual: valor final = valor inicial × (1 − tasa). 500 con descuento de 30% = 500 × 0,70 = 350.
La velocidad viene con la práctica, y la precisión viene con la comprensión de las reglas. Te deseamos mucho éxito en tu preparación para las Pruebas Nacionales.
Su dominio es indispensable en las Pruebas Nacionales del MINERD.
A continuación se presentan las propiedades, jerarquía y técnicas que permiten resolver operaciones aritméticas con seguridad y velocidad.
Jerarquía de operaciones
Cuando una expresión contiene varias operaciones, se resuelven en este orden:1. Paréntesis (del más interno al más externo).
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicación y división (de izquierda a derecha).
4. Suma y resta (de izquierda a derecha).
Ejemplo: 12 ÷ 4 + 3 × 2 = 3 + 6 = 9. No es (12 ÷ 7) × 2. La multiplicación y división se resuelven antes que suma y resta.
Propiedades de las operaciones
Conmutativa (suma y multiplicación): a + b = b + a y a × b = b × a. El orden no altera el resultado.Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c). Se puede reagrupar sin cambiar el resultado.
Distributiva: a × (b + c) = a × b + a × c. Permite expandir o factorizar expresiones.
Elemento neutro: 0 para la suma (a + 0 = a) y 1 para la multiplicación (a × 1 = a).
Inverso aditivo: a + (−a) = 0. Inverso multiplicativo: a × (1/a) = 1 (a ≠ 0).
Operaciones con enteros
Regla de signos para multiplicación y división: positivo × positivo = positivo. Negativo × negativo = positivo. Signos diferentes = negativo.Ejemplo: (−4) × (−3) = 12. (−6) × 5 = −30. (−20) ÷ (−4) = 5.
Para suma de enteros con diferente signo: se restan los valores absolutos y se conserva el signo del mayor. Ejemplo: −8 + 5 = −3.
Potencias y sus leyes
aⁿ significa multiplicar a por sí mismo n veces. Las leyes fundamentales son:Producto de misma base: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Cociente: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
Potencia de potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ. Potencia de un producto: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
Exponente cero: a⁰ = 1 (a ≠ 0). Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Ejemplo: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128. (3²)³ = 3⁶ = 729.
Raíces y radicales
La raíz n-ésima de a es el número que elevado a n da a: ⁿ√a = b significa bⁿ = a.Raíz cuadrada: √16 = 4 porque 4² = 16. Raíz cúbica: ³√27 = 3 porque 3³ = 27.
Propiedad del producto: √(ab) = √a × √b. Propiedad del cociente: √(a/b) = √a / √b.
Simplificación: √50 = √(25 × 2) = 5√2. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
Racionalización del denominador: 1/√3 = √3/3 (se multiplica arriba y abajo por √3).
Porcentajes
Un porcentaje es una fracción con denominador 100. El 25% equivale a 25/100 = 0,25.Calcular porcentaje de un número: 15% de 200 = 0,15 × 200 = 30.
Aumento porcentual: valor final = valor inicial × (1 + tasa). 300 con aumento de 20% = 300 × 1,20 = 360.
Descuento porcentual: valor final = valor inicial × (1 − tasa). 500 con descuento de 30% = 500 × 0,70 = 350.
Cierre
Las operaciones aritméticas son la base de toda la matemática. Respetar la jerarquía, aplicar las propiedades correctamente y manejar signos con cuidado evita errores frecuentes.La velocidad viene con la práctica, y la precisión viene con la comprensión de las reglas. Te deseamos mucho éxito en tu preparación para las Pruebas Nacionales.