Potenciacion y Radicales
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La potenciación y los radicales son herramientas fundamentales del álgebra que aparecen con frecuencia en el EXANI-II del CENEVAL.
Comprender sus leyes y propiedades te permitirá simplificar expresiones, resolver ecuaciones y manejar notación científica con soltura.
Significa multiplicar la base por sí misma n veces: aⁿ = a × a × a × ... (n veces).
Ejemplos: 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. 10² = 100.
Casos especiales: a¹ = a (cualquier número elevado a 1 es él mismo). 1ⁿ = 1 (uno elevado a cualquier potencia es 1).
Cociente de potencias con igual base: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Ejemplo: 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625.
Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ. Ejemplo: (3²)³ = 3⁶ = 729.
Exponente cero: a⁰ = 1 (para a ≠ 0). Ejemplo: 7⁰ = 1, (−4)⁰ = 1.
Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Ejemplo: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. 10⁻² = 1/100 = 0,01.
Potencia de un producto: (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ. Ejemplo: (2 × 3)⁴ = 2⁴ × 3⁴ = 16 × 81 = 1296.
Potencia de un cociente: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Ejemplo: (3/2)² = 9/4.
Raíz cuadrada: √25 = 5 porque 5² = 25. Raíz cúbica: ³√27 = 3 porque 3³ = 27.
Relación con exponentes fraccionarios: ⁿ√a = a^(1/n). Ejemplo: √9 = 9^(1/2) = 3. ³√8 = 8^(1/3) = 2.
Forma general: ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n). Ejemplo: ³√(2⁶) = 2^(6/3) = 2² = 4.
Cociente de radicales: ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b). Ejemplo: √50 / √2 = √25 = 5.
Simplificación: se extraen factores cuadrados perfectos del radicando. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
Otro ejemplo: √48 = √(16 × 3) = 4√3. Se busca el mayor cuadrado perfecto que divida al radicando.
Caso simple: para 1/√a, se multiplica numerador y denominador por √a. Resultado: √a / a.
Ejemplo: 5/√3 = (5 × √3) / (√3 × √3) = 5√3 / 3.
Caso con binomio: para 1/(a + √b), se multiplica por el conjugado (a − √b). Ejemplo: 1/(3 + √2) = (3 − √2) / (9 − 2) = (3 − √2) / 7.
Números grandes: 4 500 000 = 4,5 × 10⁶. Se mueve el punto decimal 6 posiciones a la izquierda.
Números pequeños: 0,00032 = 3,2 × 10⁻⁴. Se mueve el punto decimal 4 posiciones a la derecha.
Para multiplicar en notación científica: (a × 10ᵐ)(b × 10ⁿ) = (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ. Ejemplo: (3 × 10⁴)(2 × 10³) = 6 × 10⁷.
Practica la aplicación de cada ley, simplifica radicales con confianza y domina la notación científica. Con constancia, estos temas se convertirán en puntos seguros en tu examen. Te deseamos mucho éxito en tu preparación EXANI-II.
Comprender sus leyes y propiedades te permitirá simplificar expresiones, resolver ecuaciones y manejar notación científica con soltura.
Potenciación
La potenciación es una multiplicación abreviada. Se escribe aⁿ, donde a es la base y n es el exponente.Significa multiplicar la base por sí misma n veces: aⁿ = a × a × a × ... (n veces).
Ejemplos: 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. 10² = 100.
Casos especiales: a¹ = a (cualquier número elevado a 1 es él mismo). 1ⁿ = 1 (uno elevado a cualquier potencia es 1).
Leyes de los exponentes
Producto de potencias con igual base: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Ejemplo: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128.Cociente de potencias con igual base: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Ejemplo: 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625.
Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ. Ejemplo: (3²)³ = 3⁶ = 729.
Exponente cero: a⁰ = 1 (para a ≠ 0). Ejemplo: 7⁰ = 1, (−4)⁰ = 1.
Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Ejemplo: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. 10⁻² = 1/100 = 0,01.
Potencia de un producto: (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ. Ejemplo: (2 × 3)⁴ = 2⁴ × 3⁴ = 16 × 81 = 1296.
Potencia de un cociente: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Ejemplo: (3/2)² = 9/4.
Radicales
Un radical es la operación inversa de la potenciación. La raíz n-ésima de a se escribe ⁿ√a y busca el número que elevado a n da a.Raíz cuadrada: √25 = 5 porque 5² = 25. Raíz cúbica: ³√27 = 3 porque 3³ = 27.
Relación con exponentes fraccionarios: ⁿ√a = a^(1/n). Ejemplo: √9 = 9^(1/2) = 3. ³√8 = 8^(1/3) = 2.
Forma general: ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n). Ejemplo: ³√(2⁶) = 2^(6/3) = 2² = 4.
Propiedades de los radicales
Producto de radicales: ⁿ√a × ⁿ√b = ⁿ√(a × b). Ejemplo: √3 × √12 = √36 = 6.Cociente de radicales: ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b). Ejemplo: √50 / √2 = √25 = 5.
Simplificación: se extraen factores cuadrados perfectos del radicando. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
Otro ejemplo: √48 = √(16 × 3) = 4√3. Se busca el mayor cuadrado perfecto que divida al radicando.
Racionalización
Racionalizar consiste en eliminar radicales del denominador de una fracción.Caso simple: para 1/√a, se multiplica numerador y denominador por √a. Resultado: √a / a.
Ejemplo: 5/√3 = (5 × √3) / (√3 × √3) = 5√3 / 3.
Caso con binomio: para 1/(a + √b), se multiplica por el conjugado (a − √b). Ejemplo: 1/(3 + √2) = (3 − √2) / (9 − 2) = (3 − √2) / 7.
Notación científica
La notación científica expresa números como a × 10ⁿ, donde 1 ≤ a < 10 y n es entero.Números grandes: 4 500 000 = 4,5 × 10⁶. Se mueve el punto decimal 6 posiciones a la izquierda.
Números pequeños: 0,00032 = 3,2 × 10⁻⁴. Se mueve el punto decimal 4 posiciones a la derecha.
Para multiplicar en notación científica: (a × 10ᵐ)(b × 10ⁿ) = (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ. Ejemplo: (3 × 10⁴)(2 × 10³) = 6 × 10⁷.
Cierre
Las potencias y los radicales son pilares del álgebra y aparecen en ecuaciones, funciones y problemas de geometría dentro del EXANI-II.Practica la aplicación de cada ley, simplifica radicales con confianza y domina la notación científica. Con constancia, estos temas se convertirán en puntos seguros en tu examen. Te deseamos mucho éxito en tu preparación EXANI-II.