En este tema practicarás el cálculo de áreas y perímetros de figuras compuestas: figuras formadas por la combinación de rectángulos, triángulos, círculos, trapecios y otras formas básicas, aplicando estrategias de descomposición y sustracción para resolver problemas geométricos y de la vida real.
Áreas y Perímetros Compuestas
Selecciona un nivel de dificultad para comenzar a practicar. Los exámenes fáciles son gratuitos. Los intermedios y difíciles requieren una suscripción premium.
Las áreas y perímetros compuestas se refieren al cálculo de medidas de figuras que están formadas por la combinación (suma o resta) de figuras geométricas básicas. Dominar este tema requiere conocer las fórmulas fundamentales y desarrollar la habilidad de descomponer figuras complejas en partes simples.
Semicírculo: A = (π × r²) / 2, Perímetro = π × r + 2r (arco + diámetro).
Sector circular: A = (θ/360) × π × r², Arco = (θ/360) × 2π × r, donde θ es el ángulo en grados.
Ejemplo: Una figura en forma de T se puede dividir en un rectángulo horizontal y uno vertical. Se calcula el área de cada parte y se suman.
Ejemplo: Un cuadrado de 10 cm de lado con un círculo de radio 3 cm recortado en el centro.
Área = Área del cuadrado − Área del círculo = 10² − π(3²) = 100 − 28.26 = 71.74 cm².
Esta estrategia es especialmente útil para regiones sombreadas, marcos, caminos alrededor de figuras, etc.
- No contar los lados interiores que no son parte del borde externo.
- Cuando un lado recto se reemplaza por un arco (semicírculo), usar la longitud del arco en vez del lado.
- Arco de semicírculo = π × r (la mitad de la circunferencia).
- Arco de un cuarto de círculo = (π × r) / 2.
Ejemplo: Un rectángulo de 10 cm × 6 cm con un semicírculo adosado a un lado corto.
Perímetro = 2 × 10 + 6 + π × 3 = 20 + 6 + 9.42 = 35.42 cm.
(No se cuenta el lado corto que conecta con el semicírculo.)
Área de la corona = π(R² − r²), donde R es el radio mayor y r el radio menor.
También se puede factorizar: Área = π(R + r)(R − r).
Ejemplo: R = 8 cm, r = 5 cm. Área = π(64 − 25) = 3.14 × 39 = 122.46 cm².
Solución:
Dimensiones exteriores (con camino) = (30 + 2×2) × (20 + 2×2) = 34 × 24 = 816 m².
Área del parque = 30 × 20 = 600 m².
Área del camino = 816 − 600 = 216 m².
Solución del área:
Área del rectángulo = 2 × 1 = 2 m².
Área del semicírculo = (π × 0.5²) / 2 = (3.14 × 0.25) / 2 = 0.3925 m².
Área total = 2 + 0.3925 ≈ 2.39 m².
Solución del perímetro:
El perímetro recorre: los dos lados largos (2 × 2 = 4 m), el lado inferior (1 m) y el arco del semicírculo.
Arco = π × d / 2 = π × 1 / 2 = 1.57 m.
Perímetro = 4 + 1 + 1.57 = 6.57 m.
Solución:
El diámetro del círculo inscrito = lado del cuadrado = 14 cm, entonces r = 7 cm.
Área del cuadrado = 14² = 196 cm².
Área del círculo = π × 7² = 3.14 × 49 = 153.86 cm².
Área entre las figuras = 196 − 153.86 = 42.14 cm².
Área(A ∪ B) = Área(A) + Área(B) − Área(A ∩ B).
De aquí se despeja la intersección: Área(A ∩ B) = Área(A) + Área(B) − Área(A ∪ B).
Este principio es fundamental para resolver problemas con figuras que se traslapan.
- Con un perímetro fijo, la figura de mayor área posible es un círculo.
- Con una pared como apoyo y cerca para 3 lados, el rectángulo óptimo tiene ancho = perímetro/4 y largo = perímetro/2.
A = (1/2) |Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|
Se multiplican en cruz las coordenadas consecutivas, se restan y se divide entre 2.
- Verifica que las unidades sean consistentes (todo en cm, o todo en m).
- Cuando te pidan el perímetro, recorre mentalmente el borde exterior de la figura sin saltarte ningún segmento.
- Para regiones sombreadas: piensa en «total menos lo que falta».
- Si el problema involucra costos, calcula primero el área o perímetro, luego multiplica por el precio unitario.
- Recuerda: π ≈ 3.14, √2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.73.
- En problemas de optimización, recuerda que el cuadrado maximiza el área entre rectángulos con perímetro fijo, y el círculo maximiza entre todas las figuras.
Fórmulas de área de figuras básicas
A continuación se presentan las fórmulas esenciales que necesitarás para resolver problemas de figuras compuestas:Semicírculo: A = (π × r²) / 2, Perímetro = π × r + 2r (arco + diámetro).
Sector circular: A = (θ/360) × π × r², Arco = (θ/360) × 2π × r, donde θ es el ángulo en grados.
Estrategia 1: Descomposición de figuras compuestas
La idea principal es dividir una figura compleja en figuras simples cuyas áreas se pueden calcular fácilmente, y luego sumarlas.Ejemplo: Una figura en forma de T se puede dividir en un rectángulo horizontal y uno vertical. Se calcula el área de cada parte y se suman.
Estrategia 2: Área total menos partes removidas
Cuando una figura tiene huecos o recortes, es más fácil calcular el área de la figura grande completa y restar las partes que faltan.Ejemplo: Un cuadrado de 10 cm de lado con un círculo de radio 3 cm recortado en el centro.
Área = Área del cuadrado − Área del círculo = 10² − π(3²) = 100 − 28.26 = 71.74 cm².
Esta estrategia es especialmente útil para regiones sombreadas, marcos, caminos alrededor de figuras, etc.
Perímetro de figuras compuestas
El perímetro de una figura compuesta es la longitud total de su contorno exterior. Es importante:- No contar los lados interiores que no son parte del borde externo.
- Cuando un lado recto se reemplaza por un arco (semicírculo), usar la longitud del arco en vez del lado.
- Arco de semicírculo = π × r (la mitad de la circunferencia).
- Arco de un cuarto de círculo = (π × r) / 2.
Ejemplo: Un rectángulo de 10 cm × 6 cm con un semicírculo adosado a un lado corto.
Perímetro = 2 × 10 + 6 + π × 3 = 20 + 6 + 9.42 = 35.42 cm.
(No se cuenta el lado corto que conecta con el semicírculo.)
Corona circular (anillo)
La corona circular es la región entre dos círculos concéntricos (mismo centro, diferente radio).Área de la corona = π(R² − r²), donde R es el radio mayor y r el radio menor.
También se puede factorizar: Área = π(R + r)(R − r).
Ejemplo: R = 8 cm, r = 5 cm. Área = π(64 − 25) = 3.14 × 39 = 122.46 cm².
Ejemplo resuelto 1: Parque con camino
Un parque rectangular de 30 m × 20 m tiene un camino de 2 m de ancho que lo rodea por fuera. ¿Cuál es el área del camino?Solución:
Dimensiones exteriores (con camino) = (30 + 2×2) × (20 + 2×2) = 34 × 24 = 816 m².
Área del parque = 30 × 20 = 600 m².
Área del camino = 816 − 600 = 216 m².
Ejemplo resuelto 2: Vitral en arco
Un vitral tiene forma de rectángulo de 2 m × 1 m con un semicírculo en la parte superior (diámetro = 1 m). ¿Cuál es el área y el perímetro del vitral?Solución del área:
Área del rectángulo = 2 × 1 = 2 m².
Área del semicírculo = (π × 0.5²) / 2 = (3.14 × 0.25) / 2 = 0.3925 m².
Área total = 2 + 0.3925 ≈ 2.39 m².
Solución del perímetro:
El perímetro recorre: los dos lados largos (2 × 2 = 4 m), el lado inferior (1 m) y el arco del semicírculo.
Arco = π × d / 2 = π × 1 / 2 = 1.57 m.
Perímetro = 4 + 1 + 1.57 = 6.57 m.
Ejemplo resuelto 3: Región entre figuras
Un cuadrado de lado 14 cm tiene un círculo inscrito. ¿Cuál es el área entre el cuadrado y el círculo?Solución:
El diámetro del círculo inscrito = lado del cuadrado = 14 cm, entonces r = 7 cm.
Área del cuadrado = 14² = 196 cm².
Área del círculo = π × 7² = 3.14 × 49 = 153.86 cm².
Área entre las figuras = 196 − 153.86 = 42.14 cm².
Inclusión-exclusión en figuras superpuestas
Cuando dos figuras se superponen, el área de la unión se calcula como:Área(A ∪ B) = Área(A) + Área(B) − Área(A ∩ B).
De aquí se despeja la intersección: Área(A ∩ B) = Área(A) + Área(B) − Área(A ∪ B).
Este principio es fundamental para resolver problemas con figuras que se traslapan.
Optimización: Área máxima con perímetro fijo
- Con un perímetro fijo, el rectángulo de mayor área es un cuadrado.- Con un perímetro fijo, la figura de mayor área posible es un círculo.
- Con una pared como apoyo y cerca para 3 lados, el rectángulo óptimo tiene ancho = perímetro/4 y largo = perímetro/2.
Coordenadas: Fórmula del zapato
Para calcular el área de un polígono cuyos vértices se dan como coordenadas (x₁,y₁), (x₂,y₂), ..., (xₙ,yₙ), se usa:A = (1/2) |Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|
Se multiplican en cruz las coordenadas consecutivas, se restan y se divide entre 2.
Consejos para el examen
- Siempre dibuja o identifica las partes de la figura compuesta antes de calcular.- Verifica que las unidades sean consistentes (todo en cm, o todo en m).
- Cuando te pidan el perímetro, recorre mentalmente el borde exterior de la figura sin saltarte ningún segmento.
- Para regiones sombreadas: piensa en «total menos lo que falta».
- Si el problema involucra costos, calcula primero el área o perímetro, luego multiplica por el precio unitario.
- Recuerda: π ≈ 3.14, √2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.73.
- En problemas de optimización, recuerda que el cuadrado maximiza el área entre rectángulos con perímetro fijo, y el círculo maximiza entre todas las figuras.