En este tema practicarás las cuatro secciones cónicas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Trabajarás con ecuaciones estándar y generales, identificación de centros, focos, vértices, asíntotas, excentricidad y clasificación de cónicas por su discriminante.
Secciones Cónicas
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Las secciones cónicas son las curvas que se obtienen al cortar un cono circular recto con un plano. Según la inclinación del plano, se producen cuatro figuras: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.
Estas curvas aparecen en la física (órbitas planetarias, reflectores), la ingeniería (puentes, antenas) y en los exámenes de admisión universitaria.
A continuación se presentan las ecuaciones estándar, propiedades clave y métodos de clasificación para cada cónica.
Ecuación estándar: (x − h)² + (y − k)² = r², donde (h, k) es el centro y r es el radio.
Ecuación general: x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Para obtener la forma estándar se completa el cuadrado.
Ejemplo: x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Agrupamos: (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 = 25. Resulta (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Centro (3, −2), radio 5.
La excentricidad de una circunferencia es e = 0 (los focos coinciden con el centro).
Parábola vertical: x² = 4py → foco en (0, p), directriz y = −p.
Parábola horizontal: y² = 4px → foco en (p, 0), directriz x = −p.
Forma vértice: y = a(x − h)² + k, donde (h, k) es el vértice y a = 1/(4p).
Si a > 0, abre hacia arriba; si a < 0, hacia abajo. Para parábolas horizontales: si el coeficiente de y² es positivo, abre a la derecha.
El eje de simetría pasa por el vértice y el foco. El lado recto (latus rectum) mide |4p|.
Propiedad reflectora: los rayos paralelos al eje se reflejan hacia el foco (base de antenas y reflectores).
Eje mayor horizontal: x²/a² + y²/b² = 1, con a > b. Focos en (±c, 0), donde c² = a² − b².
Eje mayor vertical: x²/b² + y²/a² = 1, con a > b. Focos en (0, ±c).
Excentricidad: e = c/a. Si e está cerca de 0, la elipse se parece a un círculo; si se acerca a 1, se alarga.
Área: A = πab.
Ejemplo: x²/25 + y²/9 = 1 → a = 5, b = 3, c = √(25−9) = 4, focos (±4, 0), e = 4/5.
Las órbitas planetarias son elipses (primera ley de Kepler). El Sol ocupa uno de los focos.
Eje transverso horizontal: x²/a² − y²/b² = 1. Asíntotas: y = ±(b/a)x. Focos: (±c, 0) con c² = a² + b².
Eje transverso vertical: y²/a² − x²/b² = 1. Asíntotas: y = ±(a/b)x. Focos: (0, ±c).
Excentricidad: e = c/a > 1. A mayor excentricidad, más abierta la hipérbola.
Diferencia clave con la elipse: en la hipérbola \\(c^2 = a^2 + b^2\\) (suma), mientras que en la elipse \\(c^2 = a^2 - b^2\\) (resta).
La hipérbola equilátera (a = b) tiene asíntotas perpendiculares y excentricidad e = √2.
El discriminante Δ = B² − 4AC determina el tipo de cónica:
Cuando B ≠ 0, la cónica está rotada. El ángulo de rotación θ se obtiene con cot(2θ) = (A − C)/B.
Caso especial sin término xy (B = 0): si A = C → circunferencia. Si A ≠ C, mismo signo → elipse. Signos opuestos → hipérbola. Si A = 0 o C = 0 → parábola.
Pasos: (1) Agrupar los términos de x y de y. (2) Para cada grupo x² + bx, sumar (b/2)² a ambos lados. (3) Factorizar como cuadrado perfecto.
Ejemplo: x² + y² − 8x + 2y + 8 = 0.
(x² − 8x + 16) + (y² + 2y + 1) = −8 + 16 + 1 = 9 → (x − 4)² + (y + 1)² = 9. Centro (4, −1), radio 3.
Parábola vertical: x² = 4py. Foco: (0, p). Directriz: y = −p. Excentricidad: 1.
Elipse: x²/a² + y²/b² = 1. Focos a distancia c del centro, c² = a² − b². Excentricidad: c/a (0 < e < 1).
Hipérbola: x²/a² − y²/b² = 1. Asíntotas: y = ±(b/a)x. c² = a² + b². Excentricidad: c/a (e > 1).
Practica con ecuaciones generales, problemas de clasificación y aplicaciones en contextos reales para consolidar estos conceptos. Te deseamos mucho éxito en tu preparación.
Estas curvas aparecen en la física (órbitas planetarias, reflectores), la ingeniería (puentes, antenas) y en los exámenes de admisión universitaria.
A continuación se presentan las ecuaciones estándar, propiedades clave y métodos de clasificación para cada cónica.
Origen: el cono y los cortes
1. Circunferencia
La circunferencia es el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro.Ecuación estándar: (x − h)² + (y − k)² = r², donde (h, k) es el centro y r es el radio.
Ecuación general: x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Para obtener la forma estándar se completa el cuadrado.
Ejemplo: x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Agrupamos: (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 = 25. Resulta (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Centro (3, −2), radio 5.
La excentricidad de una circunferencia es e = 0 (los focos coinciden con el centro).
2. Parábola
La parábola es el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo (foco) y una recta fija (directriz).Parábola vertical: x² = 4py → foco en (0, p), directriz y = −p.
Parábola horizontal: y² = 4px → foco en (p, 0), directriz x = −p.
Forma vértice: y = a(x − h)² + k, donde (h, k) es el vértice y a = 1/(4p).
Si a > 0, abre hacia arriba; si a < 0, hacia abajo. Para parábolas horizontales: si el coeficiente de y² es positivo, abre a la derecha.
El eje de simetría pasa por el vértice y el foco. El lado recto (latus rectum) mide |4p|.
Propiedad reflectora: los rayos paralelos al eje se reflejan hacia el foco (base de antenas y reflectores).
3. Elipse
La elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante e igual a 2a.Eje mayor horizontal: x²/a² + y²/b² = 1, con a > b. Focos en (±c, 0), donde c² = a² − b².
Eje mayor vertical: x²/b² + y²/a² = 1, con a > b. Focos en (0, ±c).
Excentricidad: e = c/a. Si e está cerca de 0, la elipse se parece a un círculo; si se acerca a 1, se alarga.
Área: A = πab.
Ejemplo: x²/25 + y²/9 = 1 → a = 5, b = 3, c = √(25−9) = 4, focos (±4, 0), e = 4/5.
Las órbitas planetarias son elipses (primera ley de Kepler). El Sol ocupa uno de los focos.
4. Hipérbola
La hipérbola es el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante e igual a 2a.Eje transverso horizontal: x²/a² − y²/b² = 1. Asíntotas: y = ±(b/a)x. Focos: (±c, 0) con c² = a² + b².
Eje transverso vertical: y²/a² − x²/b² = 1. Asíntotas: y = ±(a/b)x. Focos: (0, ±c).
Excentricidad: e = c/a > 1. A mayor excentricidad, más abierta la hipérbola.
Diferencia clave con la elipse: en la hipérbola \\(c^2 = a^2 + b^2\\) (suma), mientras que en la elipse \\(c^2 = a^2 - b^2\\) (resta).
La hipérbola equilátera (a = b) tiene asíntotas perpendiculares y excentricidad e = √2.
5. Clasificación por ecuación general
La ecuación general de segundo grado es: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0.El discriminante Δ = B² − 4AC determina el tipo de cónica:
Cuando B ≠ 0, la cónica está rotada. El ángulo de rotación θ se obtiene con cot(2θ) = (A − C)/B.
Caso especial sin término xy (B = 0): si A = C → circunferencia. Si A ≠ C, mismo signo → elipse. Signos opuestos → hipérbola. Si A = 0 o C = 0 → parábola.
6. Completar el cuadrado
Es la técnica esencial para convertir la forma general a la forma estándar.Pasos: (1) Agrupar los términos de x y de y. (2) Para cada grupo x² + bx, sumar (b/2)² a ambos lados. (3) Factorizar como cuadrado perfecto.
Ejemplo: x² + y² − 8x + 2y + 8 = 0.
(x² − 8x + 16) + (y² + 2y + 1) = −8 + 16 + 1 = 9 → (x − 4)² + (y + 1)² = 9. Centro (4, −1), radio 3.
7. Resumen de fórmulas clave
Circunferencia: (x−h)² + (y−k)² = r². Excentricidad: 0.Parábola vertical: x² = 4py. Foco: (0, p). Directriz: y = −p. Excentricidad: 1.
Elipse: x²/a² + y²/b² = 1. Focos a distancia c del centro, c² = a² − b². Excentricidad: c/a (0 < e < 1).
Hipérbola: x²/a² − y²/b² = 1. Asíntotas: y = ±(b/a)x. c² = a² + b². Excentricidad: c/a (e > 1).
Cierre
Dominar las secciones cónicas requiere reconocer cada forma por su ecuación, aplicar completar el cuadrado, y entender la relación entre focos, vértices, directrices y excentricidad.Practica con ecuaciones generales, problemas de clasificación y aplicaciones en contextos reales para consolidar estos conceptos. Te deseamos mucho éxito en tu preparación.