En este tema practicarás el cálculo de volúmenes y áreas superficiales de sólidos: cubos, prismas, cilindros, conos, esferas, pirámides, sólidos compuestos y troncos de cono, aplicando fórmulas y resolviendo problemas en contextos reales.
Volumen y superficie de sólidos
Estas preguntas de Volumen y superficie de sólidos están alineadas con el PAES del DEMRE en Chile.
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Los ejercicios de Volumen y superficie de sólidos en el PAES evalúan tanto tu conocimiento teórico como tu capacidad de resolver problemas prácticos. En estos simulacros de Matemáticas encontrarás preguntas con el mismo formato del examen, organizadas por dificultad. Practica sin registro y mejora tu preparación para el examen de admisión.
El volumen y la superficie de sólidos son conceptos fundamentales de la geometría tridimensional que aparecen frecuentemente en exámenes de admisión universitaria.
Dominar las fórmulas y saber cuándo aplicar cada una es esencial para resolver estos problemas con rapidez y precisión.
Nota: La generatriz del cono se calcula con Pitágoras: g = √(r² + h²).
1. Identificar las figuras básicas que componen el sólido (cilindros, conos, esferas, prismas, pirámides).
2. Sumar los volúmenes si las partes están unidas (ejemplo: cilindro + cono).
3. Restar los volúmenes si hay cavidades o perforaciones (ejemplo: cubo con agujero cilíndrico).
Ejemplo: Un silo tiene forma de cilindro (r = 3 m, h = 8 m) con una semiesfera arriba.
V = V_cilindro + V_semiesfera = π(9)(8) + (2/3)π(27) = 72π + 18π = 90π m³.
Si se multiplican todas las dimensiones lineales de un sólido por un factor k:
- Las áreas se multiplican por k².
- Los volúmenes se multiplican por k³.
Ejemplo: Si se duplican todas las dimensiones (k = 2):
- El área superficial se multiplica por 2² = 4.
- El volumen se multiplica por 2³ = 8.
Ejemplo: Si se triplica el radio de una esfera:
- V_nueva = (4/3)π(3r)³ = (4/3)π(27r³) = 27 × V_original. El volumen se multiplica por 27.
V = 5³ = 125 cm³. A = 6(5²) = 6(25) = 150 cm².
Ejemplo 2: Un cilindro tiene radio 4 cm y altura 10 cm. Hallar su volumen y área total.
V = π(16)(10) = 160π cm³. A = 2π(4)(4 + 10) = 2π(4)(14) = 112π cm².
Ejemplo 3: Una tubería cilíndrica tiene radio exterior 5 cm, radio interior 3 cm y longitud 20 cm. Hallar el volumen de material.
V = π(R² − r²)L = π(25 − 9)(20) = π(16)(20) = 320π cm³.
Ejemplo 4: Un tronco de cono tiene radio inferior 6 cm, radio superior 3 cm y altura 8 cm. Hallar su volumen.
V = (πh/3)(R² + Rr + r²) = (8π/3)(36 + 18 + 9) = (8π/3)(63) = 168π cm³.
- 1 m³ = 1 000 000 cm³ = 1000 litros
- 1 cm³ = 1 mL
2. El cono es 1/3 del cilindro con la misma base y altura. La pirámide es 1/3 del prisma correspondiente.
3. Lee cuidadosamente si te dan el radio o el diámetro. Un error común es usar el diámetro como si fuera el radio.
4. Principio de Cavalieri: prismas o cilindros oblicuos tienen el mismo volumen que los rectos con la misma base y altura perpendicular.
5. Unidades: verifica que todas las medidas estén en las mismas unidades antes de calcular.
6. Sólidos compuestos: descompón en figuras simples, calcula cada volumen por separado y suma o resta.
7. Problemas de escala: si las dimensiones se multiplican por k, el volumen se multiplica por k³ y el área por k².
8. Generatriz del cono: siempre se calcula con Pitágoras: g = √(r² + h²). No la confundas con la altura.
Dominar las fórmulas y saber cuándo aplicar cada una es esencial para resolver estos problemas con rapidez y precisión.
Fórmulas de volumen
Tabla resumen de volúmenes:| Sólido | Fórmula de volumen |
|---|---|
| Cubo (arista a) | V = a³ |
| Prisma rectangular (l, w, h) | V = l × w × h |
| Cilindro (radio r, altura h) | V = πr²h |
| Cono (radio r, altura h) | V = (1/3)πr²h |
| Esfera (radio r) | V = (4/3)πr³ |
| Pirámide (área base A, altura h) | V = (1/3)Ah |
| Prisma general (área base A, altura h) | V = Ah |
| Tronco de cono (R, r, h) | V = (πh/3)(R² + Rr + r²) |
| Semiesfera (radio r) | V = (2/3)πr³ |
Fórmulas de área superficial
| Sólido | Área lateral | Área total |
|---|---|---|
| Cubo (arista a) | 4a² | 6a² |
| Prisma rectangular | 2h(l + w) | 2(lw + lh + wh) |
| Cilindro | 2πrh | 2πr(r + h) |
| Cono (generatriz g) | πrg | πr(r + g) |
| Esfera | — | 4πr² |
Sólidos compuestos: estrategias
Para calcular el volumen de sólidos compuestos:1. Identificar las figuras básicas que componen el sólido (cilindros, conos, esferas, prismas, pirámides).
2. Sumar los volúmenes si las partes están unidas (ejemplo: cilindro + cono).
3. Restar los volúmenes si hay cavidades o perforaciones (ejemplo: cubo con agujero cilíndrico).
Ejemplo: Un silo tiene forma de cilindro (r = 3 m, h = 8 m) con una semiesfera arriba.
V = V_cilindro + V_semiesfera = π(9)(8) + (2/3)π(27) = 72π + 18π = 90π m³.
Relación entre dimensiones y volumen (escala)
Este concepto es muy importante y aparece frecuentemente en exámenes:Si se multiplican todas las dimensiones lineales de un sólido por un factor k:
- Las áreas se multiplican por k².
- Los volúmenes se multiplican por k³.
Ejemplo: Si se duplican todas las dimensiones (k = 2):
- El área superficial se multiplica por 2² = 4.
- El volumen se multiplica por 2³ = 8.
Ejemplo: Si se triplica el radio de una esfera:
- V_nueva = (4/3)π(3r)³ = (4/3)π(27r³) = 27 × V_original. El volumen se multiplica por 27.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: Un cubo tiene arista de 5 cm. Hallar su volumen y área superficial.V = 5³ = 125 cm³. A = 6(5²) = 6(25) = 150 cm².
Ejemplo 2: Un cilindro tiene radio 4 cm y altura 10 cm. Hallar su volumen y área total.
V = π(16)(10) = 160π cm³. A = 2π(4)(4 + 10) = 2π(4)(14) = 112π cm².
Ejemplo 3: Una tubería cilíndrica tiene radio exterior 5 cm, radio interior 3 cm y longitud 20 cm. Hallar el volumen de material.
V = π(R² − r²)L = π(25 − 9)(20) = π(16)(20) = 320π cm³.
Ejemplo 4: Un tronco de cono tiene radio inferior 6 cm, radio superior 3 cm y altura 8 cm. Hallar su volumen.
V = (πh/3)(R² + Rr + r²) = (8π/3)(36 + 18 + 9) = (8π/3)(63) = 168π cm³.
Conversiones útiles
- 1 litro = 1000 cm³ = 1 dm³- 1 m³ = 1 000 000 cm³ = 1000 litros
- 1 cm³ = 1 mL
Consejos para el examen
1. Memoriza las fórmulas clave: cubo, prisma, cilindro, cono, esfera y pirámide. Son las más frecuentes.2. El cono es 1/3 del cilindro con la misma base y altura. La pirámide es 1/3 del prisma correspondiente.
3. Lee cuidadosamente si te dan el radio o el diámetro. Un error común es usar el diámetro como si fuera el radio.
4. Principio de Cavalieri: prismas o cilindros oblicuos tienen el mismo volumen que los rectos con la misma base y altura perpendicular.
5. Unidades: verifica que todas las medidas estén en las mismas unidades antes de calcular.
6. Sólidos compuestos: descompón en figuras simples, calcula cada volumen por separado y suma o resta.
7. Problemas de escala: si las dimensiones se multiplican por k, el volumen se multiplica por k³ y el área por k².
8. Generatriz del cono: siempre se calcula con Pitágoras: g = √(r² + h²). No la confundas con la altura.