En este tema practicarás el cálculo de volúmenes y áreas superficiales de sólidos: cubos, prismas, cilindros, conos, esferas, pirámides, sólidos compuestos y troncos de cono, aplicando fórmulas y resolviendo problemas en contextos reales.
Volumen y Superficie de Sólidos
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El volumen y la superficie de sólidos son conceptos fundamentales de la geometría tridimensional que aparecen frecuentemente en exámenes de admisión universitaria.
Dominar las fórmulas y saber cuándo aplicar cada una es esencial para resolver estos problemas con rapidez y precisión.
Nota: La generatriz del cono se calcula con Pitágoras: g = √(r² + h²).
1. Identificar las figuras básicas que componen el sólido (cilindros, conos, esferas, prismas, pirámides).
2. Sumar los volúmenes si las partes están unidas (ejemplo: cilindro + cono).
3. Restar los volúmenes si hay cavidades o perforaciones (ejemplo: cubo con agujero cilíndrico).
Ejemplo: Un silo tiene forma de cilindro (r = 3 m, h = 8 m) con una semiesfera arriba.
V = V_cilindro + V_semiesfera = π(9)(8) + (2/3)π(27) = 72π + 18π = 90π m³.
Si se multiplican todas las dimensiones lineales de un sólido por un factor k:
- Las áreas se multiplican por k².
- Los volúmenes se multiplican por k³.
Ejemplo: Si se duplican todas las dimensiones (k = 2):
- El área superficial se multiplica por 2² = 4.
- El volumen se multiplica por 2³ = 8.
Ejemplo: Si se triplica el radio de una esfera:
- V_nueva = (4/3)π(3r)³ = (4/3)π(27r³) = 27 × V_original. El volumen se multiplica por 27.
V = 5³ = 125 cm³. A = 6(5²) = 6(25) = 150 cm².
Ejemplo 2: Un cilindro tiene radio 4 cm y altura 10 cm. Hallar su volumen y área total.
V = π(16)(10) = 160π cm³. A = 2π(4)(4 + 10) = 2π(4)(14) = 112π cm².
Ejemplo 3: Una tubería cilíndrica tiene radio exterior 5 cm, radio interior 3 cm y longitud 20 cm. Hallar el volumen de material.
V = π(R² − r²)L = π(25 − 9)(20) = π(16)(20) = 320π cm³.
Ejemplo 4: Un tronco de cono tiene radio inferior 6 cm, radio superior 3 cm y altura 8 cm. Hallar su volumen.
V = (πh/3)(R² + Rr + r²) = (8π/3)(36 + 18 + 9) = (8π/3)(63) = 168π cm³.
- 1 m³ = 1 000 000 cm³ = 1000 litros
- 1 cm³ = 1 mL
2. El cono es 1/3 del cilindro con la misma base y altura. La pirámide es 1/3 del prisma correspondiente.
3. Lee cuidadosamente si te dan el radio o el diámetro. Un error común es usar el diámetro como si fuera el radio.
4. Principio de Cavalieri: prismas o cilindros oblicuos tienen el mismo volumen que los rectos con la misma base y altura perpendicular.
5. Unidades: verifica que todas las medidas estén en las mismas unidades antes de calcular.
6. Sólidos compuestos: descompón en figuras simples, calcula cada volumen por separado y suma o resta.
7. Problemas de escala: si las dimensiones se multiplican por k, el volumen se multiplica por k³ y el área por k².
8. Generatriz del cono: siempre se calcula con Pitágoras: g = √(r² + h²). No la confundas con la altura.
Dominar las fórmulas y saber cuándo aplicar cada una es esencial para resolver estos problemas con rapidez y precisión.
Fórmulas de volumen
Tabla resumen de volúmenes:| Sólido | Fórmula de volumen |
|---|---|
| Cubo (arista a) | V = a³ |
| Prisma rectangular (l, w, h) | V = l × w × h |
| Cilindro (radio r, altura h) | V = πr²h |
| Cono (radio r, altura h) | V = (1/3)πr²h |
| Esfera (radio r) | V = (4/3)πr³ |
| Pirámide (área base A, altura h) | V = (1/3)Ah |
| Prisma general (área base A, altura h) | V = Ah |
| Tronco de cono (R, r, h) | V = (πh/3)(R² + Rr + r²) |
| Semiesfera (radio r) | V = (2/3)πr³ |
Fórmulas de área superficial
| Sólido | Área lateral | Área total |
|---|---|---|
| Cubo (arista a) | 4a² | 6a² |
| Prisma rectangular | 2h(l + w) | 2(lw + lh + wh) |
| Cilindro | 2πrh | 2πr(r + h) |
| Cono (generatriz g) | πrg | πr(r + g) |
| Esfera | — | 4πr² |
Sólidos compuestos: estrategias
Para calcular el volumen de sólidos compuestos:1. Identificar las figuras básicas que componen el sólido (cilindros, conos, esferas, prismas, pirámides).
2. Sumar los volúmenes si las partes están unidas (ejemplo: cilindro + cono).
3. Restar los volúmenes si hay cavidades o perforaciones (ejemplo: cubo con agujero cilíndrico).
Ejemplo: Un silo tiene forma de cilindro (r = 3 m, h = 8 m) con una semiesfera arriba.
V = V_cilindro + V_semiesfera = π(9)(8) + (2/3)π(27) = 72π + 18π = 90π m³.
Relación entre dimensiones y volumen (escala)
Este concepto es muy importante y aparece frecuentemente en exámenes:Si se multiplican todas las dimensiones lineales de un sólido por un factor k:
- Las áreas se multiplican por k².
- Los volúmenes se multiplican por k³.
Ejemplo: Si se duplican todas las dimensiones (k = 2):
- El área superficial se multiplica por 2² = 4.
- El volumen se multiplica por 2³ = 8.
Ejemplo: Si se triplica el radio de una esfera:
- V_nueva = (4/3)π(3r)³ = (4/3)π(27r³) = 27 × V_original. El volumen se multiplica por 27.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: Un cubo tiene arista de 5 cm. Hallar su volumen y área superficial.V = 5³ = 125 cm³. A = 6(5²) = 6(25) = 150 cm².
Ejemplo 2: Un cilindro tiene radio 4 cm y altura 10 cm. Hallar su volumen y área total.
V = π(16)(10) = 160π cm³. A = 2π(4)(4 + 10) = 2π(4)(14) = 112π cm².
Ejemplo 3: Una tubería cilíndrica tiene radio exterior 5 cm, radio interior 3 cm y longitud 20 cm. Hallar el volumen de material.
V = π(R² − r²)L = π(25 − 9)(20) = π(16)(20) = 320π cm³.
Ejemplo 4: Un tronco de cono tiene radio inferior 6 cm, radio superior 3 cm y altura 8 cm. Hallar su volumen.
V = (πh/3)(R² + Rr + r²) = (8π/3)(36 + 18 + 9) = (8π/3)(63) = 168π cm³.
Conversiones útiles
- 1 litro = 1000 cm³ = 1 dm³- 1 m³ = 1 000 000 cm³ = 1000 litros
- 1 cm³ = 1 mL
Consejos para el examen
1. Memoriza las fórmulas clave: cubo, prisma, cilindro, cono, esfera y pirámide. Son las más frecuentes.2. El cono es 1/3 del cilindro con la misma base y altura. La pirámide es 1/3 del prisma correspondiente.
3. Lee cuidadosamente si te dan el radio o el diámetro. Un error común es usar el diámetro como si fuera el radio.
4. Principio de Cavalieri: prismas o cilindros oblicuos tienen el mismo volumen que los rectos con la misma base y altura perpendicular.
5. Unidades: verifica que todas las medidas estén en las mismas unidades antes de calcular.
6. Sólidos compuestos: descompón en figuras simples, calcula cada volumen por separado y suma o resta.
7. Problemas de escala: si las dimensiones se multiplican por k, el volumen se multiplica por k³ y el área por k².
8. Generatriz del cono: siempre se calcula con Pitágoras: g = √(r² + h²). No la confundas con la altura.