Circunferencia Rectas y Angulos

La circunferencia y sus relaciones con rectas y ángulos constituyen uno de los temas más importantes en geometría. Comprender cómo interactúan tangentes, secantes y cuerdas con la circunferencia te permitirá resolver gran variedad de problemas geométricos.

Elementos de la circunferencia

Centro: punto equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
Radio (r): segmento desde el centro a cualquier punto de la circunferencia.
Diámetro (d): segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia; d = 2r.
Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia (el diámetro es la cuerda mayor).
Arco: porción de la circunferencia delimitada por dos puntos.

Rectas y la circunferencia

Recta tangente: toca la circunferencia en exactamente un punto (punto de tangencia). Es perpendicular al radio en ese punto.
Recta secante: intersecta la circunferencia en dos puntos, formando una cuerda.
Recta exterior: no tiene puntos en comun con la circunferencia.

Angulo central

Es el ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia. Su medida es igual a la medida del arco que abarca.
Si el ángulo central mide 80°, entonces el arco correspondiente mide 80°.

Angulo inscrito

Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y cuyos lados son cuerdas. Su medida es la mitad del arco que abarca.
Angulo inscrito = arco / 2.
Corolario: todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales.
Corolario: un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto (90°).

Angulo semi-inscrito (tangente-cuerda)

Se forma entre una tangente y una cuerda que parten del mismo punto sobre la circunferencia. Su medida es la mitad del arco interceptado.

Angulo interior (entre dos cuerdas)

Cuando dos cuerdas se cortan dentro de la circunferencia, el ángulo formado es la semisuma de los arcos opuestos:
Angulo = (arco1 + arco2) / 2.

Angulo exterior

Cuando dos secantes (o una secante y una tangente, o dos tangentes) se encuentran fuera de la circunferencia, el ángulo es la semidiferencia de los arcos:
Angulo = (arco mayor − arco menor) / 2.

Potencia de un punto

Para un punto P exterior a la circunferencia:
Dos secantes: PA × PB = PC × PD (donde A, B y C, D son los puntos de interseccion con la circunferencia).
Tangente y secante: PT² = PA × PB (donde T es el punto de tangencia).
Para un punto P interior: PA × PB = PC × PD (cuerdas que se cruzan).

Consejos para el examen

• Identifica primero donde está el vértice del ángulo: en el centro, sobre la circunferencia, dentro o fuera.
• Recuerda: ángulo central = arco; ángulo inscrito = arco/2.
• La tangente siempre es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
• En problemas de potencia de un punto, multiplica los segmentos correspondientes.