En este tema practicarás proporcionalidad directa e inversa, regla de tres (simple y compuesta), cálculos de porcentajes (aumentos, descuentos, porcentajes sucesivos), razones y proporciones, y problemas de escalas y mapas aplicados a contextos reales.
Proporcionalidad y Porcentajes
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La proporcionalidad y los porcentajes son herramientas matemáticas fundamentales para resolver problemas cotidianos: descuentos, aumentos, escalas, recetas, mezclas y más. Dominar estos conceptos te permitirá abordar con confianza las preguntas de razonamiento cuantitativo de tu examen de admisión.
Propiedad fundamental: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios: a × d = b × c.
Ejemplo: si a/b = 3/5 y b = 20, entonces a = 3 × 20 / 5 = 12.
Ejemplo: si 3 kg de manzanas cuestan $12, entonces 5 kg cuestan 5 × 12/3 = $20.
Ejemplo: si 4 obreros terminan un trabajo en 6 días, 3 obreros lo harán en 4 × 6/3 = 8 días.
Pasos: 1) Identificar si la relación es directa o inversa. 2) Plantear la proporción. 3) Despejar la incógnita.
Aumento porcentual: valor final = valor inicial × (1 + p/100).
Descuento porcentual: valor final = valor inicial × (1 − p/100).
Ejemplo: Un artículo de $80 con 25% de descuento: 80 × (1 − 0.25) = 80 × 0.75 = $60.
Ejemplo: Un aumento de 20% seguido de un descuento de 10%: factor = 1.20 × 0.90 = 1.08, equivale a un aumento neto de 8%, no de 10%.
Ejemplo: Si 15 de 60 estudiantes aprobaron, el porcentaje es (15/60) × 100 = 25%.
Ejemplo: En un mapa con escala 1:50,000, una distancia de 3 cm en el mapa representa 3 × 50,000 = 150,000 cm = 1.5 km en la realidad.
Razones y proporciones
Una razón es la comparación entre dos cantidades mediante una división: a/b. Una proporción es la igualdad entre dos razones: a/b = c/d.Propiedad fundamental: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios: a × d = b × c.
Ejemplo: si a/b = 3/5 y b = 20, entonces a = 3 × 20 / 5 = 12.
Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra aumenta en la misma proporción (y viceversa). Su cociente permanece constante: y/x = k.Ejemplo: si 3 kg de manzanas cuestan $12, entonces 5 kg cuestan 5 × 12/3 = $20.
Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra disminuye proporcionalmente. Su producto permanece constante: x × y = k.Ejemplo: si 4 obreros terminan un trabajo en 6 días, 3 obreros lo harán en 4 × 6/3 = 8 días.
Regla de tres simple
La regla de tres simple permite encontrar un valor desconocido cuando se tiene una proporción entre dos magnitudes y se conocen tres de los cuatro valores.Pasos: 1) Identificar si la relación es directa o inversa. 2) Plantear la proporción. 3) Despejar la incógnita.
Porcentajes
Un porcentaje expresa una cantidad como fracción de 100. Calcular el p% de N: resultado = N × p / 100.Aumento porcentual: valor final = valor inicial × (1 + p/100).
Descuento porcentual: valor final = valor inicial × (1 − p/100).
Ejemplo: Un artículo de $80 con 25% de descuento: 80 × (1 − 0.25) = 80 × 0.75 = $60.
Porcentajes sucesivos
Cuando se aplican dos porcentajes consecutivos, NO se suman. Se multiplican los factores.Ejemplo: Un aumento de 20% seguido de un descuento de 10%: factor = 1.20 × 0.90 = 1.08, equivale a un aumento neto de 8%, no de 10%.
Calcular el porcentaje que representa una cantidad
Porcentaje = (parte / total) × 100.Ejemplo: Si 15 de 60 estudiantes aprobaron, el porcentaje es (15/60) × 100 = 25%.
Escalas y mapas
La escala es una razón entre la medida en el plano y la medida real: escala = medida del plano / medida real.Ejemplo: En un mapa con escala 1:50,000, una distancia de 3 cm en el mapa representa 3 × 50,000 = 150,000 cm = 1.5 km en la realidad.
Consejos para el examen
- Identifica siempre si la relación es directa o inversa antes de plantear la proporción.
- Convierte porcentajes a decimales para operar: 15% = 0.15.
- En porcentajes sucesivos, multiplica los factores en lugar de sumar los porcentajes.
- Verifica tus respuestas con sentido común: un descuento debe dar un valor menor.