En este tema practicarás los conceptos de trigonometría: funciones seno, coseno y tangente, triángulos notables, el círculo unitario, identidades trigonométricas, ley de senos y cosenos, y resolución de ecuaciones trigonométricas en contextos geométricos y de la vida real.
Trigonometría
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La trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.
Es fundamental en geometría, física, ingeniería y aparece constantemente en pruebas de admisión universitaria.
A continuación se presentan los conceptos clave que necesitas dominar para resolver problemas trigonométricos con confianza.
Seno (sen) = cateto opuesto / hipotenusa
Coseno (cos) = cateto adyacente / hipotenusa
Tangente (tan) = cateto opuesto / cateto adyacente
La regla mnemotécnica es SOH CAH TOA:
Seno = Opuesto / Hipotenusa
Coseno = Adyacente / Hipotenusa
Tangente = Opuesto / Adyacente
También existen las funciones recíprocas:
Cosecante (csc) = 1/sen = hipotenusa / cateto opuesto
Secante (sec) = 1/cos = hipotenusa / cateto adyacente
Cotangente (cot) = 1/tan = cateto adyacente / cateto opuesto
Triángulo 30°-60°-90°: los lados son proporcionales a 1, √3 y 2.
- sen(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3
- sen(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3
Triángulo 45°-45°-90°: los catetos son iguales y la hipotenusa es √2 veces el cateto.
- sen(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1
360° = 2π radianes, equivalentemente 180° = π radianes.
Para convertir:
- Grados a radianes: multiplica por π/180
- Radianes a grados: multiplica por 180/π
Ángulos estándar: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π, 360° = 2π.
Signos por cuadrante:
- Cuadrante I (0° a 90°): sen > 0, cos > 0, tan > 0
- Cuadrante II (90° a 180°): sen > 0, cos < 0, tan < 0
- Cuadrante III (180° a 270°): sen < 0, cos < 0, tan > 0
- Cuadrante IV (270° a 360°): sen < 0, cos > 0, tan < 0
sen²(θ) + cos²(θ) = 1
De ella se derivan: 1 + tan²(θ) = sec²(θ) y 1 + cot²(θ) = csc²(θ)
Identidades de ángulo doble:
sen(2θ) = 2·sen(θ)·cos(θ)
cos(2θ) = cos²(θ) − sen²(θ) = 2·cos²(θ) − 1 = 1 − 2·sen²(θ)
Identidades de suma y diferencia:
sen(A ± B) = sen(A)·cos(B) ± cos(A)·sen(B)
cos(A ± B) = cos(A)·cos(B) ∓ sen(A)·sen(B)
tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A)·tan(B))
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
Se usa cuando conoces:
- Dos ángulos y un lado (AAS o ASA)
- Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (SSA, caso ambiguo)
c² = a² + b² − 2ab·cos(C)
Se usa cuando conoces:
- Dos lados y el ángulo entre ellos (SAS)
- Los tres lados (SSS) — para hallar un ángulo
Nota: cuando C = 90°, cos(C) = 0 y la ley se reduce al teorema de Pitágoras: c² = a² + b².
Área = (1/2)·a·b·sen(C)
Esta fórmula es muy útil cuando no conoces la altura directamente.
- |A| = amplitud (altura de la onda)
- 2π/|B| = período (longitud de un ciclo completo)
- −C/B = desfase horizontal (phase shift)
- D = desplazamiento vertical
Las mismas reglas aplican para y = A·cos(Bx + C) + D.
Para y = tan(Bx), el período es π/|B|.
- Usa el ángulo de referencia para encontrar funciones trigonométricas de cualquier ángulo; solo ajusta el signo según el cuadrante.
- Cuando resuelvas ecuaciones trigonométricas, primero encuentra el ángulo de referencia y luego identifica en qué cuadrantes la función tiene el signo deseado.
- Antes de aplicar la ley de senos o cosenos, identifica qué datos tienes (AAS, SAS, SSS, etc.) para elegir la fórmula correcta.
- Practica la simplificación de expresiones usando identidades; muchas preguntas se reducen a aplicar sen²(θ) + cos²(θ) = 1.
- En problemas de ángulos de elevación y depresión, siempre dibuja un triángulo rectángulo y marca el ángulo correctamente.
Es fundamental en geometría, física, ingeniería y aparece constantemente en pruebas de admisión universitaria.
A continuación se presentan los conceptos clave que necesitas dominar para resolver problemas trigonométricos con confianza.
Funciones trigonométricas básicas
Las tres funciones trigonométricas principales se definen a partir de un triángulo rectángulo:Seno (sen) = cateto opuesto / hipotenusa
Coseno (cos) = cateto adyacente / hipotenusa
Tangente (tan) = cateto opuesto / cateto adyacente
La regla mnemotécnica es SOH CAH TOA:
Seno = Opuesto / Hipotenusa
Coseno = Adyacente / Hipotenusa
Tangente = Opuesto / Adyacente
También existen las funciones recíprocas:
Cosecante (csc) = 1/sen = hipotenusa / cateto opuesto
Secante (sec) = 1/cos = hipotenusa / cateto adyacente
Cotangente (cot) = 1/tan = cateto adyacente / cateto opuesto
Triángulos notables
Hay dos triángulos especiales cuyos valores debes memorizar:Triángulo 30°-60°-90°: los lados son proporcionales a 1, √3 y 2.
- sen(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3
- sen(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3
Triángulo 45°-45°-90°: los catetos son iguales y la hipotenusa es √2 veces el cateto.
- sen(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1
Conversión de ángulos: grados y radianes
Los ángulos se pueden medir en grados o en radianes. La relación es:360° = 2π radianes, equivalentemente 180° = π radianes.
Para convertir:
- Grados a radianes: multiplica por π/180
- Radianes a grados: multiplica por 180/π
Ángulos estándar: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π, 360° = 2π.
El círculo unitario
El círculo unitario es un círculo de radio 1 centrado en el origen del plano cartesiano. Cualquier punto sobre él tiene coordenadas (cos θ, sen θ), donde θ es el ángulo medido desde el eje x positivo en sentido antihorario.Signos por cuadrante:
- Cuadrante I (0° a 90°): sen > 0, cos > 0, tan > 0
- Cuadrante II (90° a 180°): sen > 0, cos < 0, tan < 0
- Cuadrante III (180° a 270°): sen < 0, cos < 0, tan > 0
- Cuadrante IV (270° a 360°): sen < 0, cos > 0, tan < 0
Identidades trigonométricas fundamentales
Identidad pitagórica:sen²(θ) + cos²(θ) = 1
De ella se derivan: 1 + tan²(θ) = sec²(θ) y 1 + cot²(θ) = csc²(θ)
Identidades de ángulo doble:
sen(2θ) = 2·sen(θ)·cos(θ)
cos(2θ) = cos²(θ) − sen²(θ) = 2·cos²(θ) − 1 = 1 − 2·sen²(θ)
Identidades de suma y diferencia:
sen(A ± B) = sen(A)·cos(B) ± cos(A)·sen(B)
cos(A ± B) = cos(A)·cos(B) ∓ sen(A)·sen(B)
tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A)·tan(B))
Ley de Senos
En cualquier triángulo con lados a, b, c opuestos a los ángulos A, B, C:a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
Se usa cuando conoces:
- Dos ángulos y un lado (AAS o ASA)
- Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (SSA, caso ambiguo)
Ley de Cosenos
En cualquier triángulo:c² = a² + b² − 2ab·cos(C)
Se usa cuando conoces:
- Dos lados y el ángulo entre ellos (SAS)
- Los tres lados (SSS) — para hallar un ángulo
Nota: cuando C = 90°, cos(C) = 0 y la ley se reduce al teorema de Pitágoras: c² = a² + b².
Área de un triángulo con trigonometría
Si conoces dos lados y el ángulo entre ellos:Área = (1/2)·a·b·sen(C)
Esta fórmula es muy útil cuando no conoces la altura directamente.
Gráficas de funciones trigonométricas
Para la función general y = A·sen(Bx + C) + D:- |A| = amplitud (altura de la onda)
- 2π/|B| = período (longitud de un ciclo completo)
- −C/B = desfase horizontal (phase shift)
- D = desplazamiento vertical
Las mismas reglas aplican para y = A·cos(Bx + C) + D.
Para y = tan(Bx), el período es π/|B|.
Consejos para el examen
- Memoriza los valores de sen, cos y tan para 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.- Usa el ángulo de referencia para encontrar funciones trigonométricas de cualquier ángulo; solo ajusta el signo según el cuadrante.
- Cuando resuelvas ecuaciones trigonométricas, primero encuentra el ángulo de referencia y luego identifica en qué cuadrantes la función tiene el signo deseado.
- Antes de aplicar la ley de senos o cosenos, identifica qué datos tienes (AAS, SAS, SSS, etc.) para elegir la fórmula correcta.
- Practica la simplificación de expresiones usando identidades; muchas preguntas se reducen a aplicar sen²(θ) + cos²(θ) = 1.
- En problemas de ángulos de elevación y depresión, siempre dibuja un triángulo rectángulo y marca el ángulo correctamente.