Programacion Lineal
Estas preguntas de Programacion Lineal están alineadas con el EXANI-II del CENEVAL en México.
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En la prueba de Matemáticas del EXANI-II, Programacion Lineal es uno de los temas evaluados con mayor frecuencia. Estos simulacros incluyen preguntas de opción múltiple similares al examen real, con explicaciones paso a paso después de cada respuesta. Practica a tu ritmo para llegar al examen de admisión con la preparación que necesitas.
La programacion lineal es una tecnica matematica que permite encontrar el mejor resultado (maximo o minimo) de una funcion objetivo sujeta a restricciones lineales. Es un tema relevante en el EXANI-II del CENEVAL.
Aparece en problemas de optimizacion donde se debe maximizar una ganancia, minimizar un costo o distribuir recursos de forma eficiente.
A continuacion se presentan los conceptos y metodos fundamentales para resolver problemas de programacion lineal.
La funcion objetivo es la expresion que se desea maximizar o minimizar. Tiene la forma: Z = ax + by, donde a y b son los coeficientes que representan la contribucion de cada variable al objetivo.
Ejemplo: Una fabrica produce dos tipos de muebles. Si la ganancia por mesa es $200 y por silla es $150, la funcion objetivo es: Z = 200x + 150y, donde x = numero de mesas e y = numero de sillas.
Restriccion de recursos: 3x + 2y ≤ 120 (por ejemplo, horas de trabajo disponibles).
Restriccion de demanda: x ≥ 10 (se deben producir al menos 10 unidades).
Restricciones de no negatividad: x ≥ 0, y ≥ 0 (no se pueden producir cantidades negativas).
Para graficar una restriccion como 3x + 2y ≤ 120: primero se traza la recta 3x + 2y = 120 (encontrando sus intersecciones con los ejes), y luego se sombrea el lado que satisface la desigualdad.
Los vertices (esquinas) de la region factible son los puntos donde se intersecan las rectas de las restricciones.
Pasos del metodo:
1. Graficar todas las restricciones e identificar la region factible.
2. Encontrar las coordenadas de cada vertice (resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se intersecan).
3. Evaluar la funcion objetivo Z = ax + by en cada vertice.
4. Seleccionar el vertice que da el valor maximo (o minimo, segun el problema).
Dieta: Encontrar la combinacion de alimentos de menor costo que cumpla con los requerimientos nutricionales minimos.
Transporte: Minimizar el costo de enviar productos desde fabricas a almacenes, respetando capacidades de produccion y demandas.
Inversion: Determinar como distribuir un capital entre diferentes opciones para maximizar el rendimiento, sujeto a restricciones de riesgo.
Para resolverlo graficamente, se traza cada desigualdad y se identifica la region donde se superponen todas las areas sombreadas.
Si no existe interseccion, el sistema es infactible (no tiene solucion).
Si la region es un poligono cerrado, el problema es acotado. Si se extiende al infinito en alguna direccion, es no acotado.
La programacion lineal entera agrega la restriccion de que las variables sean numeros enteros.
En el nivel del EXANI-II, basta con redondear la solucion continua al entero factible mas cercano y verificar que cumpla todas las restricciones.
Aparece en problemas de optimizacion donde se debe maximizar una ganancia, minimizar un costo o distribuir recursos de forma eficiente.
A continuacion se presentan los conceptos y metodos fundamentales para resolver problemas de programacion lineal.
Variables de decision y funcion objetivo
Las variables de decision representan las cantidades que queremos determinar. Generalmente se denotan como x e y (o x₁, x₂).La funcion objetivo es la expresion que se desea maximizar o minimizar. Tiene la forma: Z = ax + by, donde a y b son los coeficientes que representan la contribucion de cada variable al objetivo.
Ejemplo: Una fabrica produce dos tipos de muebles. Si la ganancia por mesa es $200 y por silla es $150, la funcion objetivo es: Z = 200x + 150y, donde x = numero de mesas e y = numero de sillas.
Restricciones (desigualdades lineales)
Las restricciones son condiciones que limitan los valores posibles de las variables. Se expresan como desigualdades lineales:Restriccion de recursos: 3x + 2y ≤ 120 (por ejemplo, horas de trabajo disponibles).
Restriccion de demanda: x ≥ 10 (se deben producir al menos 10 unidades).
Restricciones de no negatividad: x ≥ 0, y ≥ 0 (no se pueden producir cantidades negativas).
Region factible
La region factible es el conjunto de todos los puntos (x, y) que satisfacen simultaneamente todas las restricciones. Graficamente, es un poligono convexo (o puede ser no acotado).Para graficar una restriccion como 3x + 2y ≤ 120: primero se traza la recta 3x + 2y = 120 (encontrando sus intersecciones con los ejes), y luego se sombrea el lado que satisface la desigualdad.
Los vertices (esquinas) de la region factible son los puntos donde se intersecan las rectas de las restricciones.
Metodo del punto esquina
El teorema fundamental de la programacion lineal establece que, si existe una solucion optima, esta se encuentra en uno de los vertices (puntos esquina) de la region factible.Pasos del metodo:
1. Graficar todas las restricciones e identificar la region factible.
2. Encontrar las coordenadas de cada vertice (resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se intersecan).
3. Evaluar la funcion objetivo Z = ax + by en cada vertice.
4. Seleccionar el vertice que da el valor maximo (o minimo, segun el problema).
Problemas de optimizacion del mundo real
Produccion: Una fabrica debe decidir cuantas unidades de cada producto fabricar para maximizar ganancias, considerando limitaciones de materia prima, mano de obra y maquinaria.Dieta: Encontrar la combinacion de alimentos de menor costo que cumpla con los requerimientos nutricionales minimos.
Transporte: Minimizar el costo de enviar productos desde fabricas a almacenes, respetando capacidades de produccion y demandas.
Inversion: Determinar como distribuir un capital entre diferentes opciones para maximizar el rendimiento, sujeto a restricciones de riesgo.
Sistemas de desigualdades lineales
Un sistema de desigualdades lineales es un conjunto de dos o mas desigualdades que deben cumplirse simultaneamente.Para resolverlo graficamente, se traza cada desigualdad y se identifica la region donde se superponen todas las areas sombreadas.
Si no existe interseccion, el sistema es infactible (no tiene solucion).
Si la region es un poligono cerrado, el problema es acotado. Si se extiende al infinito en alguna direccion, es no acotado.
Nociones basicas de programacion entera
En muchos problemas reales, las variables deben tomar valores enteros (no puedes fabricar 3.7 sillas).La programacion lineal entera agrega la restriccion de que las variables sean numeros enteros.
En el nivel del EXANI-II, basta con redondear la solucion continua al entero factible mas cercano y verificar que cumpla todas las restricciones.